Wahrscheinlichkeitstheorie I WS 06/07 Serie 9

1. ( Unfaire Münzwürfe und asymmetrischer random walk ).

a) Eine Münze wird wiederholt geworfen. Bei jedem Wurf fällt ,,Zahl” mit Wahrscheinlichkeit p. Seien K_{n} und Z_{n} die Anzahlen von ,,Kopf” bzw. ,,Zahl” bei den ersten n Würfen. Zeige für ε > 0 :

lim_{n→∞} P [2p − 1 − ε ≤ \frac{1}{n}(Z_{n} − K_{n}) ≤ 2p − 1 + ε] = 1 .

b) Beim asymmetrischen random walk (biased random walk) S_{n} (n = 0, 1, 2, …) auf ℤ wird vor jedem Bewegungsschritt eine Münze mit Wahrscheinlichkeit p ≠ \frac{1}{2} für ,,Zahl” geworfen. Fällt Kopf bzw. Zahl, dann fällt bzw. steigt die Position im nächsten Schritt um eine Einheit. Zeige, daß S_{n} mit Wahrscheinlichkeit 1 nur endlich oft zum Startpunkt zurückkehrt.

2. ( Gesetz der großen Zahlen ). Sei X_{1}, X_{2}, … eine Folge von Zufallsvariablen mit E[X_{i}] = m und var (X_{i}) = σ^{2}. Es gelte

|cov (X_{i}, X_{j})| ≤ r(|i − j|)

für eine Funktion r : ℕ → (0, ∞). Finde Bedingungen für r, also Bedingungen für das ,,Abklingen” der Korrelationen, unter denen immer noch das schwache Gesetz der großen Zahlen

lim_{n→∞} P [ |\frac{X_{1} + X_{2} + ⋯ + X_{n}}{n} − m| > ε] = 0 ∀ ε > 0 gilt.

3. ( Absolutstetigkeit bei Münzwurfmodellen ).

a) Seien P und Q die Wahrscheinlichkeitsmaße aus den Münzwurfmodellen mit Erfolgswahrscheinlichkeiten p bzw. q auf {0, 1}^{n}. Zeige: Falls q ∈ (0, 1), so gilt P ≪ Q. Gib \frac{dP}{dQ} an!

b) Seien P und Q die Wahrscheinlichkeitsmaße aus den Münzwurfmodellen mit Erfolgswahrscheinlichkeiten p bzw. q auf {0, 1}^{ℕ}. Zeige: Falls q ≠ p, gilt P ≪ Q nicht.

4. Seien μ, ν Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf ℝ mit Dichten f, g bzgl. λ. Zeige, dass dann gilt

μ ≪ ν ⇔ f = 0 f.ü. auf {g=0} .

Gib für diesen Fall einen Ausdruck für die Dichte \frac{dμ}{dν} an!

5. ( Rückkehr des random walk zum Startpunkt ). Sei S_{n}(ω) (n = 1, 2, …, 2N) der random walk auf ℤ mit Start in 0, und sei

T_{0}(ω) = min {n > 0 | S_{n}(ω) = 0 }

die erste Rückkehrzeit nach 0 und

L(ω) = max {0 ≤ n ≤ 2N | S_{n}(ω) = 0 }

der Zeitpunkt des letzten Besuchs in 0. Zeige :

P [T_{0} > 2n] = P [S_{2n} = 0]  und
P [L = 2n] = P [S_{2n} = 0] · P [S_{2N−2n} = 0] = 2^{−2N} \binom{2n}{n}\binom{2N − 2n}{N − n} .