Wahrscheinlichkeitstheorie I WS 06/07 Serie 8

1. ( Dichten für diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen ).

Seien P [A] = ∑_{ω∈A} p(ω) und Q[A] = ∑_{ω∈A} q(ω) , A ∈ P(Ω) ,

Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf einer abzählbaren Menge Ω. Zeige, daß P genau dann eine Dichte ρ bzgl. Q hat, wenn P in folgendem Sinn absolutstetig bzgl. Q ist:

∀ ω ∈ Ω : q(ω) = 0 ⇒ p(ω) = 0 .

In diesem Fall gilt

ρ(ω) = \frac{p(ω)}{q(ω)} für alle ω ∈ Ω mit q(ω) ≠ 0.

2. ( Positive Korrelation monotoner Zufallsvariablen ). Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien f, g ∈ L^{2}. Zeige sind X, Y unabhängige Ω-wertige Zufallsvariablen mit Verteilung P, so gilt

Cov(f, g) = \frac{1}{2}E [(f(X) − f(Y)) (g(X) − g(Y))] .

Folgere, dass Cov(f, g) ≥ 0, wenn (Ω, A) = (ℝ, B(ℝ)) und f und g beide monoton wachsend sind.

3. Seien X_{1}, X_{2}, … unkorrelierte Zufallsvariablen auf (Ω, A, P) mit Erwartungswert m und Varianz σ^{2} (m, σ ∈ ℝ). Sei S_{n} = X_{1} + … + X_{n}.

a) Zeige:

var (\frac{S_{n}}{n} ) → 0 für n → ∞.

b) Für alle Y ∈ L^{2}(Ω, A, P) und ε > 0 gilt :

var (Y) ≥ ε^{2} · P [|Y − E[Y]| ≥ ε] .

c) \frac{S_{n}}{n} konvergiert stochastisch gegen m, d.h.

lim_{n→∞} P [|\frac{S_{n}}{n} − m| ≥ ε] = 0 für alle ε > 0.

4. Berechne die Varianz

a) einer Bin(n, p)-verteilten Zufallsvariable

b) einer Exp(λ)-verteilten Zufallsvariable

c) einer P oisson(λ)-verteilten Zufallsvariable!

5. ( Der L^{1}-Fehler ). Sei X eine reellwertige Zufallsvariable und sei a_{0} ∈ ℝ ein Median von X, d.h.,

P [X < a_{0}] ≤ \frac{1}{2} und P [X > a_{0}] ≤ \frac{1}{2}.

Zeige, dass a_{0} den L^{1}-Fehler

ε(a) = E[|X − a|].

minimiert.