Wahrscheinlichkeitstheorie I WS 06/07 Serie 7

1. Sei P die Gleichverteilung auf der Menge Ω der Permutationen von {1, …, n}. Für eine Permutation ω bezeichne X(ω) die Anzahl der Fixpunkte. Berechne den Erwartungswert E[X] und die Varianz

Var(X) = E[X^{2}] − E[X]^{2} .

Hinweis: X = ∑_{i=1}^{n} I_{{ω∈Ω|ω(i)=i}}.

2. ( Berechnung von Erwartungswerten aus der Verteilung ). Sei T ≥ 0 eine Zufallsvariable auf (Ω, A, P). Beweise ohne Verwendung des Satzes von Fubini, daß x ↦ P [T > x] Borel–meßbar ist mit

E[T] = ∫_{0}^{∞} P [T > x] dx .

Hinweis : Betrachte zunächst den Fall, daß T nur endlich viele Werte 0 = c_{0} < c_{1} < … < c_{k} annimmt. Zeige

E[T] = ∑_{i=1}^{k}(c_{i} − c_{i−1}) P [T ≥ c_{i}] = ∫_{0}^{∞} P [T > x] dx .

3. ( Asymptotische Ereignisse ). Sei X_{1}, X_{2}, … eine Folge von unabhängigen positiven Zufallsvariablen auf (Ω, A, P).

a) Welche der folgenden Ereignisse sind asymptotische Ereignisse ?

{X_{n} > 2n unendlich oft}, {lim inf X_{n} < 17}, {inf X_{n} > 5},

\{∑_{n=1}^{∞} X_{n} < 1\}, \{∑_{n=1}^{∞} X_{n} < ∞\}, \{∃ lim_{n→∞} \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} X_{i}\}.

b) Gib Beispiele von tail–field–meßbaren Zufallsvariablen an (mit Beweis).

4. ( Einschluß–/Ausschlußprinzip ).

Seien (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, und A_{1}, …, A_{n} ∈ A. Zeige

I_{⋃ A_{i}} = 1 − ∏(1 − I_{A_{i}}) ,

und folgere

P [⋃ A_{i}] = ∑_{k=1}^{n}(−1)^{k+1} ∑_{1≤i_{1}<···<i_{k}≤n} P [A_{i_{1}} ∩ ⋯ ∩ A_{i_{k}}] .

5. ( Rekorde ). Seien X_{1}, X_{2}, … unabhängige identisch verteilte Zufallsvariablen mit stetiger Verteilungsfunktion. Seien E_{1} := Ω, und, für n ≥ 2,

E_{n} := {X_{n} > X_{m} ∀ m < n} = ,,ein Rekord wird zur Zeit n erreicht”.

Zeige, daß die Ereignisse E_{1}, E_{2}, … unabhängig sind mit P [E_{n}] = 1/n.

6. ( Perkolation ). Sei p ∈ [0, 1]. Wir betrachten unabhängige Zufallsvariablen X_{i}, i ∈ ℤ^{d}, mit P [X_{i} = 1] = p und P [X_{i} = 0] = 1 − p. Der Gitterpunkt i ∈ ℤ^{d} heißt durchlässig, falls X_{i} = 1 gilt. Sei A das Ereignis, daß eine unendliche Zusammenhangskomponente aus durchlässigen Gitterpunkten existiert. A_{0} sei das Ereignis, daß der Nullpunkt in einer unendlichen Zusammenhangskomponente von durchlässigen Punkten enthalten ist. Zeige:

a) Im Fall d = 1, p < 1, gilt P [A] = 0.

b) Für alle d = 1, 2, … und p ∈ [0, 1] gilt

P [A] = 1 ⇔ P [A_{0}] > 0.