Wahrscheinlichkeitstheorie I WS 06/07 Serie 6

1. Angenommen, die Anzahl der Geburten an einem Tag in einem Krankenhaus ist Poissonverteilt mit Parameter λ. Jede Geburt ist ein Junge mit Wahrscheinlichkeit p und ein Mädchen mit Wahrscheinlichkeit q = 1 − p, unabhängig von anderen Geburten (und unabhängig von der Gesamtzahl der Geburten). Seien J und M die Zahl der Jungen bzw. Mädchen.

a) Zeige : P [J = j, M = m] = \frac{e^{−λp}(λp)^{j}}{j!} · \frac{e^{−λq}(λq)^{m}}{m!} .

b) Folgere : J und M sind unabhängig und Poissonverteilt mit Parameter λp bzw. λq.

2. Sei P_{p} die zum Münzwurfmodell mit Erfolgsparameter p ∈ [0, 1] gehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem Raum Ω der binären Folgen ω = (x_{1}, x_{2}, …), und sei X_{i}(ω) = x_{i}. Sei P die durch

P [A] = ∫_{0}^{1} P_{p}[A] dp

definierte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Ω.

a) Sind die Zufallsvariablen X_{1}, X_{2}, … unabhängig bezüglich P ?

b) Sei S_{n} = X_{1} + ⋯ + X_{n}. Wie verhalten sich die empirischen Mittelwerte \frac{1}{n}S_{n} unter P ?

3. ( Ballot theorem ).

a) Wir betrachten den random walk mit Start in 0. Für a ∈ ℤ sei

T_{a}(ω) = min {n ∈ ℕ| S_{n}(ω) = a} .

Insbesondere ist T_{0} die erste Rückkehrzeit zum Startpunkt. Zeige für a > 0 :

P [ T_{0} > n und S_{n} = a] = P [ T_{a} = n] = \frac{a}{n} P [ S_{n} = a] .

( Die Aussage von Aufgabe 3 vom letzten Blatt kann vorausgesetzt werden ).

b) Bei einer Wahl erhält Kandidat A α Stimmen, und Kandidat B β Stimmen, α > β. Angenommen, die Stimmen werden in ,,völlig zufälliger” Reihenfolge ausgezählt. Zeige : Die Wahrscheinlichkeit, daß A während der Stimmenauszählung stets in Führung liegt, ist \frac{α−β}{α+β}.

4. ( Drosophila melanogaster ). Das Genom der Taufliege Drosophila melanogaster gliedert sich in etwa m = 7000 Abschnitte (die anhand des Färbungsmusters der in der Speicheldrüse befindlichen Riesenchromosomen erkennbar sind). Zur Vereinfachung sei angenommen, dass sich in jedem Abschnitt gleich viele, nämlich M = 23000 Basenpaare befinden. Das Genom umfasst also N = mM Basenpaare. Durch hochenergetische Bestrahlung werden n = 1000 (rein zufällig verteilte) Basenpaare zerstört. Finde ein stochastisches Modell für die Anzahl der zerstörten Basenpaare in allen Genomabschnitten. Berechne für jedes 1 ≤ i ≤ m die Verteilung der Anzahl Z_{i} der zerstörten Basenpaare im Abschnitt i und bergründe, dass Z_{i} approximativ Poisson-verteilt ist.

5. ( Unabhängigkeit von Zufallsvariablen ). Seien X_{1}, …, X_{n} : Ω → ℝ Zufallsvariablen auf (Ω, A, P). Zeige :

a) Nimmt jedes X_{i} nur abzählbar viele Werte an, dann sind X_{1}, …, X_{n} genau dann unabhängig, wenn

P [X_{1} = a_{1}, …, X_{n} = a_{n}] = ∏_{k=1}^{n} P [X_{k} = a_{k}] ∀ a_{k} ∈ X_{k}(Ω) (1 ≤ k ≤ n).

b) Allgemein sind X_{1}, …, X_{n} genau dann unabhängig, wenn

P [X_{1} ≤ c_{1}, …, X_{n} ≤ c_{n}] = ∏_{k=1}^{n} P [X_{k} ≤ c_{k}] ∀ c_{k} ∈ ℝ (1 ≤ k ≤ n).