Wahrscheinlichkeitstheorie I WS 06/07 Serie 5

1. ( Pflanzenzucht ). Ein Pflanzen-Gen besitze die beiden Allele A und a. Ein klassisches Verfahren zur Züchtung reinrassiger (d.h. homozygotischer) Pflanzen vom Genotyp AA bzw. aa ist die Selbstbefruchtung. Begründe, dass die Übergangswahrscheinlichkeiten

p(x, y) := P [Genotyp y in Generation n + 1|Genotyp x in Generation n]

durch p(Aa, AA) = p(Aa, aa) = 1/4, p(Aa, Aa) = 1/2 und P (aa, aa) = P (AA, AA) = 1 gegeben sind. Berechne für beliebiges n die n-Schritt-Übergangswahrscheinlichkeit

p^{n}(Aa, Aa) = P [Aa in Generation n|Aa am Anfang].

2. ( Simulation von Zufallsvariablen ). Sei F : ℝ → [0, 1] die Verteilungsfunktion einer reellwertigen Zufallsvariable X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P).

a) Zeige : F ist monoton wachsend und rechtsstetig mit

lim_{x→−∞} F (x) = 0 und  lim_{x→∞} F (x) = 1 .

b) Sei λ_{(0,1)} die Gleichverteilung auf (0, 1). Wie sieht der Graph von F aus, falls die Verteilung von X gleich \frac{1}{2}λ_{(0,1)} + \frac{1}{2}δ_{2} ist ?

c) Für u ∈ (0, 1) sei

X̃(u) := inf {x ∈ ℝ| F (x) ≥ u} = sup {x ∈ ℝ| F (x) < u}

die ,,linksstetige verallgemeinerte Inverse” von F. Skizziere X̃ für das Beispiel aus b). Zeige, daß X̃ eine Zufallsvariable auf dem Wahrscheinlichkeitsraum

((0, 1), B((0, 1)), λ_{(0,1)})

ist, die dieselbe Verteilung wie X unter P hat. ( Ein Element ω ∈ (0, 1) repräsentiert z.B. eine vom Computer erzeugte ,,Zufallszahl”. Dies liefert eine Möglichkeit, die Zufallsvariable X auf dem Computer zu simulieren. Welche Probleme könnten dadurch entstehen, daß vom Computer erzeugte Zufallszahlen nie wirklich zufällig sind, sondern durch einen deterministischen Algorithmus generiert werden ? Für welche Arten von Verteilungsfunktion könnte es insbesondere Probleme geben ? )

3. ( Random walk ). Sei P die Gleichverteilung auf Ω = {ω = (x_{1}, …, x_{N})| x_{i} ∈ {−1, +1} } und X_{i}(ω) = x_{i}. Wir interpretieren

S_{n} = X_{1} + … + X_{n} (n = 0, 1, …, N)

als die zufällige Bewegung eines Teilchens auf ℤ mit Start in 0 (random walk). Für a ∈ ℕ sei

T_{a} = min {n > 0| S_{n} = a}

der Zeitpunkt des ersten Besuchs in a. Zeige :

a) Für jedes c > 0 gilt :

P [S_{n} = a − c, T_{a} ≤ n] = P [S_{n} = a + c] ,,Reflektionsprinzip”.

*b) Für die Verteilung von T_{a} gilt:

P [T_{a} ≤ n] = P [S_{n} ∉ [−a, a − 1]] ,
P [T_{a} = n] = \frac{1}{2}(P [S_{n−1} = a − 1] − P [S_{n−1} = a + 1]) = \frac{a}{n}P [S_{n} = a] .

Hinweis : \frac{1}{2}(P [S_{n−1} = a − 1] + P [S_{n−1} = a + 1]) = P [S_{n} = a].

4. Eine Münze mit Wahrscheinlichkeit p für ,,Zahl” wird wiederholt geworfen. Sei A_{k} das Ereignis, daß bei den Würfen 2^{k}, 2^{k} + 1, …, 2^{k+1} − 1 mindestens k mal in Folge ,,Zahl” fällt. Zeige:

a)  P [A_{k} unendlich oft ] = 0 falls p < 1/2.
b)  P [A_{k} unendlich oft ] = 1 falls p ≥ 1/2.

Hinweis zu b): Betrachte die Ereignisse E_{i}, daß in den k Würfen ab dem 2^{k} + (i − 1)k–ten Wurf stets Zahl fällt.

5. Bestimme die n-Schritt-Übergangswahrscheinlichkeiten für die Markovkette mit Übergangsmatrix

p = ( \begin{matrix}0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{5}{12} \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{12} \end{matrix} ) .