Wahrscheinlichkeitstheorie I WS 06/07 Serie 4

1. ( Polyas Urnenmodell ). Eine Urne enthält zur Zeit n = 0 je eine rote und eine schwarze Kugel. Vor jedem Zeitpunkt n = 1, 2, 3, … wird eine zufällig ausgewählte Kugel entnommen, und zusammen mit einer neuen Kugel derselben Farbe in die Urne zurückgelegt. Sei R_{n}(ω) die Anzahl der roten Kugeln zur Zeit n. Berechne die Wahrscheinlichkeiten

p_{n,r} := P [R_{n} = r] (n ≥ 0, 1 ≤ r ≤ n + 1 )

a) für n = 1, 2 und 3, b) allgemein.

2. ( ”Runs” bei Münzwürfen ). Eine Münze wird wiederholt geworfen. Die einzelnen Würfe seien unabhängig mit Wahrscheinlichkeit p für Kopf. Sei E das Ereignis, dass eher r mal hintereinander Kopf als s mal hintereinander Zahl fällt. Sei X_{1}(ω) der Ausgang des ersten Wurfs. Zeige:

P [E|X_{1} = Kopf] = p^{r−1} + (1 − p^{r−1})P [E|X_{1} = Zahl].

Finde eine ähnliche Formel für P [E|X_{1} = Zahl], und berechne P[E].

3. A_{1}, A_{2}, … sei eine Folge von unabhängigen Ereignissen auf (Ω, A, P) mit P [A_{n}] < 1 und P [⋃_{n=1}^{∞} A_{n}] = 1. Zeige :

P [ ⋂_{m=1}^{∞} ⋃_{n=m}^{∞} A_{n}] = 1 .

4. ( Bandrika 2 ). Tom Bayes befindet sich auf seiner Bandrika-Reise genau in der Situation, in der du in Aufgabe 1 des letzten Zettels warst. Anders als du geht er jedoch davon aus, dass die Antwort Osten mit Wahrscheinlichkeit ε korrekt ist. Zeige:

a) Egal welche Antwort Tom auf seine erste Frage bekommt - er glaubt weiterhin, dass die Antwort Osten mit Wahrscheinlichkeit ε korrekt ist.

b) Sind die ersten beiden Antworten identisch (OO oder WW), so glaubt Tom weiterhin, dass die Antwort Osten mit Wahrscheinlichkeit ε korrekt ist. c) Nach drei gleichen Antworten beurteilt Tom die Situation folgendermaßen:

P [Osten korrekt|OOO] = \frac{9ε}{11 − 2ε} und P [Osten korrekt|WWW] = \frac{ε}{9 − 2ε}.

Welche Werte ergeben sich für ε = \frac{9}{20}?

5. ( Unabhängigkeit und Zahlentheorie ). Sei s > 1. Die Riemannsche Zeta–Funktion ist definiert durch

ζ(s) := ∑_{n=1}^{∞} n^{−s} .

Sei X(ω) eine Zufallsvariable mit Werten in ℕ und Verteilung

P [X = n] = \frac{n^{−s}}{ζ(s)} .

Sei E_{m} das Ereignis ,,X ist teilbar durch m”.

a) Zeige P [E_{m}] = m^{−s} für alle m ∈ ℕ.

b) Zeige, daß die Ereignisse E_{p}, p Primzahl, unabhängig sind.

( 1 ist keine Primzahl! )

c) Berechne P [⋂ E_{p}^{c}], und folgere die Eulersche Formel

\frac{1}{ζ(s)} = ∏_{p Primzahl} (1 − \frac{1}{p^{s}} ) .

d) Zeige: Die Wahrscheinlichkeit, daß X durch keine Quadratzahl außer 1 teilbar ist, beträgt 1/ζ(2s).

*e) (optional). Sei Y unabhängig von X (d.h. P [Y = m, X = n] = P [Y = m] · P [X = n]) mit derselben Verteilung, und sei H der größte gemeinsame Teiler von X und Y. Sei B_{p} das Ereignis, daß X und Y beide durch p teilbar sind. Was hat das Ereignis ⋂ B_{p}^{c} mit H zu tun ? Zeige :

P [H = n] = \frac{n^{−2s}}{ζ(2s)} .

Definition: Eine Abbildung X : Ω → ℕ auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) mit {ω|X(ω) = n} ∈ A für alle n ∈ ℕ heißt Zufallsvariable mit Werten in ℕ.