Wahrscheinlichkeitstheorie I WS 06/07 Serie 14

1. ( Gesetz der großen Zahlen via charakteristische Funktionen ).

a) Beweise mithilfe von charakteristischen Funktionen die folgende Version des schwachen Gesetzes der großen Zahlen : Sind X_{1}, X_{2}, ... : Ω → ℝ i.i.d. Zufallsvariablen in L^{1}(Ω, A, P) mit E[X_{i}] = m, dann konvergiert die Verteilung von \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} X_{i} schwach gegen das Diracmaß δ_{m}.

b) Folgere hieraus, daß \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} X_{i} auch stochastisch gegen m konvergiert.

2. X_{1}, X_{2}, … ∈ L^{2}(Ω, A, P) seien unabhängig und identisch verteilt mit E[X_{i}] = 0 und var (X_{i}) > 0. Sei S_{n} := X_{1} + … + X_{n}. Zeige :

lim sup_{n→∞} \frac{S_{n}}{\sqrt{n}} = +∞ und  lim inf_{n→∞} \frac{S_{n}}{\sqrt{n}} = −∞ P –f.s.

( Der zentrale Grenzwertsatz kann vorausgesetzt werden ).

3. Für n ∈ ℕ seien X : Ω → (0, ∞) und Y : Ω → {0, 1, 2, …} Zufallsvariablen auf (Ω, A, P) mit gemeinsamer Verteilung μ_{n}(dx)p(x, dy), wobei μ_{n} die Γ(1, n) Verteilung ist, und p(x, ·) die Poissonverteilung mit Parameter x. Mit anderen Worten : X ist Γ(1, n) verteilt, und, gegeben X = x, hat Y Poissonverteilung mit Parameter x.

a) Berechne die charakteristische Funktion von Y.

b) Zeige, daß die Verteilung von

\frac{Y − E[Y]}{\sqrt{var (Y)}}

für n → ∞ schwach gegen N(0, 1) konvergiert.

c) Warum hätte man dies auch aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes vermuten (aber nicht so leicht beweisen) können ?

4. ( Satz von Slutsky ). Seien X_{n}, Y_{n}, X und Y Zufallsvariablen auf (Ω, A, P) mit X_{n} → X und Y_{n} → Y in Verteilung.

a) Demonstriere anhand eines Beispiels, daß X_{n} + Y_{n} nicht notwendig in Verteilung gegen X + Y konvergiert.

b) Zeige, daß diese Konvergenz gilt, wenn Y konstant ist.

5. Eine Lehrmittelfirma liefert physikalische Widerstände und behauptet, deren Widerstände seien normalverteilt mit Mittelwert 50 und Standardabweichung 5 (jeweils in Ohm). Gib je einen Test für die beiden Testprobleme

a) H_{0} : m ≤ 55 gegen H_{1} : m > 55

b) H_{0} : v ≤ 25 gegen H_{1} : v > 25

zum Niveau α = 0.05 an (bei Vorliegen von 10 Messungen unter Normalverteilungsannahme; m und v beide unbekannt). Wie lautet die Entscheidung bei folgenden Messergebnissen für 10 Widerstände:

45.9 68.5 56.8 60.0 57.7 63.0 48.2 59.0 55.2 50.6

6. ( Letzte Besuchszeit des random walk ). Die letzte Besuchszeit L_{N} in 0 des random walk S_{n}, 0 ≤ n ≤ 2N, mit Start in 0 hat die Verteilung

P [L_{N} = 2n] = 2^{−2N} \binom{2n}{n}\binom{2N − 2n}{N − n} ,

s. Aufgabe 5 von Blatt 9. Zeige, daß die Verteilung von \frac{L_{N}}{2N} für N → ∞ schwach gegen die Arkussinusverteilung mit Dichte

f(x) = \frac{1}{π\sqrt{x(1 − x)}}

und Verteilungsfunktion

F (x) = \frac{2}{π} arcsin \sqrt{x} konvergiert.