Wahrscheinlichkeitstheorie I WS 06/07 Serie 12

1. Die Anzahl der Bücher, die während eines Jahres aus einer Bibliothek verschwinden sei Poisson-verteilt. Bei der jährlichen Revision entdeckt man das Fehlen eines Buches mit Wahrscheinlichkeit p; das Buch wird dann ersetzt.

a) Berechne die Anzahl der fehlenden Bücher

i) nach der Revision

ii) vor der nächsten Revision.

b) Betrachte die Situation als Markovkette: finde die zugehörige stochastische Matrix P = (p_{ij}) und mit Hilfe von a) eine invariante Verteilung.

2. ( Schätzung der Varianz bei bekanntem Erwartungswert ). Sei μ_{v} = N(m, v) eine Normalverteilung mit festem Erwartungswert m und unbekannter Varianz v ≥ 0. Bestimme den Maximum-Likelihood-Schätzer für v auf der Basis von n unabhängigen Stichproben X_{1}, …, X_{n} von μ_{v}, und leite ein 95 % Konfidenzintervall für v her.

3. ( Simulation der Cauchyverteilung ). Die Zufallsvariable U sei gleichverteilt auf [0, 1]. Zeige:

a) Die Zufallsvariable Y = tan π(U − \frac{1}{2}) besitzt die Verteilungsdichte

(1)  f(x) = \frac{1}{π(1 + x^{2})}.

Bemerkung: Allgemein heißt eine Verteilung mit Dichte

f(x) = \frac{a}{π(a^{2} + (x − m)^{2})}.

Cauchy-Verteilung mit Breite a > 0 und Median m ∈ ℝ.

b) Wählt man unabhängige, auf [−1, 1] gleichverteilte Zufallsvariablen V, W solange bis V^{2} + W^{2} ≤ 1, so hat die Zufallsvariable Y = V/W die Dichte wie in (1).

4. ( Studentsche t–Verteilung ). Zeige:

a) Sind X und Y unabhängige reellwertige Zufallsvariablen mit Dichten f, g, und gilt Y > 0 P –fast sicher, dann ist auch die Verteilung von X/Y absolutstetig mit Dichte

ρ(t) = ∫_{0}^{∞} f(ty) g(y) y dy .

b) Berechne die Verteilung von

T_{n} := \frac{Z_{0}}{\sqrt{\frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} Z_{i}^{2}}}

für unabhängige N(0, 1) verteilte Zufallsvariablen Z_{0}, Z_{1}, …, Z_{n}.

5. ( Multivariate Normalverteilungen ). Sei X eine normalverteilte Zufallsvariable auf ℝ^{n} mit Erwartungswert m ∈ ℝ^{n} und Kovarianzmatrix C ∈ ℝ^{n×n}, also X ∼ N(m, C). Zeige: Für a ∈ ℝ^{n} und eine invertierbare Matrix A ∈ ℝ^{n×n} gilt

AX + a ∼ N(Am + a, ACA^{T}).

6. ( Ruinwahrscheinlichkeiten ). Seien X_{1}, X_{2}, … iid auf (Ω, A, P) mit P [X_{i} = +1] = P [X_{i} = −1] = \frac{1}{2}, und sei

S_{n} = x_{0} + ∑_{i=1}^{n} X_{i} (n ≥ 0)

der random walk auf ℤ mit Start in x_{0}. Für λ ∈ ℕ, λ > x_{0}, sei

T (ω) := min {n ∈ ℕ | S_{n}(ω) ∉ (0, λ)}

die erste Austrittszeit aus (0, λ).

a) Zeige: E[S_{T}] = x_{0} . (Hinweis: S_{T} = x_{0} + ∑_{i=1}^{∞} X_{i} · I_{{T ≥i}}.)

b) Folgere:

P [S_{T} = 0] = 1 − P [S_{T} = λ] = \frac{λ − x_{0}}{λ}

( Wahrscheinlichkeit, daß beim Startkapital x_{0} der Ruin des Spielers vor Erreichen des Levels λ eintritt ).