Wahrscheinlichkeitstheorie I WS 06/07 Serie 11

1. ( Simulation von Ausfallzeiten ). Sei T : Ω → {0, 1, 2, …} eine Zufallsvariable auf (Ω, A, P) mit

P [T = n | T ≥ n] =: p_{n} , n = 0, 1, 2, …

( z.B. erste Ausfallzeit einer Maschine mit Ausfallwahrscheinlichkeiten p_{n} ). Zeige : Sind U_{n} (n = 0, 1, 2, …) unabhängige, auf [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariablen, dann hat

T̃ := min {n ≥ 0 | U_{n} ≤ p_{n} }

dieselbe Verteilung wie T.

2. ( Produktdichten ).

a) Seien X_{1}, …, X_{n} unabhängige reellwertige Zufallsvariablen mit absolutstetigen Verteilungen

P [X_{i} ∈ B] = ∫_{B} f_{X_{i}}(x) dx , B ∈ B(ℝ).

Zeige: Die gemeinsame Verteilung von X_{1}, …, X_{n} ist absolutstetig bzgl. λ(ℝ^{n}) mit Dichte

f(x_{1}, …, x_{n}) = ∏_{i=1}^{n} f_{X_{i}}(x_{i}) .

b) Umgekehrt seien X_{1}, …, X_{n} Zufallsvariablen, deren gemeinsame Verteilung absolutstetig mit einer Dichte in Produktform ist:

f(x_{1}, …, x_{n}) = ∏_{i=1}^{n} f_{i}(x_{i}) , f_{i} : ℝ → [0, ∞) meßbar.

Zeige: X_{1}, …, X_{n} sind unabhängig, und die Verteilungen sind absolutstetig mit Dichten

f_{X_{i}} = f_{i} /∫_{ℝ} f_{i} dx , 1 ≤ i ≤ n.

3. Seien X und Y unabhängig exponentialverteilt mit Parameter λ = 1. Bestimme die gemeinsame Verteilung von U := X + Y und V := \frac{X}{X+Y} . Folgere, daß V auf [0, 1] gleichverteilt ist.

4. ( Ordnungsstatistiken ).

a) Betrachte auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) Zufallsvariablen X_{1},..., X_{n}, unabhängig, identisch verteilt mit Verteilungsfunktion F. Zeige

F_{max(X_{1},...X_{n})}(c) = P [max(X_{1}, ...X_{n}) ≤ c] = F (c)^{n}

b) Für k = 1, …, n definiere X_{k:n}, die k-te Ordnungsstatistik der X_{i}, als den k-kleinsten unter den Werten der X_{i}. (In a) ging es also um die Verteilung von X_{n:n}.) Betrachte den Fall, in dem die X_{i} gleichverteilt auf [0, 1] sind. Bestimme die Verteilungsfunktion von X_{k:n}, und zeige, daß die Verteilung absolutstetig ist mit Dichte

f_{k:n}(s) = \frac{n!}{(k − 1)!(n − k)!}s^{k−1}(1 − s)^{n−k}, s ∈ (0, 1)

(d.h. X_{k:n} ist Beta-verteilt mit Parametern k, n − k + 1).

5. ( Gleichmäßige Integrierbarkeit ). Zeige, daß eine Familie {X_{i} | i ∈ I} von Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) gleichmäßig integrierbar ist, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist :

a) Integrierbare Majorante : Es existiert Y ∈ L^{1}(Ω, A, P) mit

|X_{i}| ≤ Y ∀ i ∈ I .

b) L^{p}–Beschränktheit für p > 1 : Es existiert p > 1 mit

sup_{i∈I} E[|X_{i}|^{p}] < ∞ .

c) Warum ist L^{1}–Beschränktheit nicht hinreichend für gleichmäßige Integrierbarkeit ?

d) Zeige: Konvergiert X_{n} gegen X in L^{1}(Ω, A, P), dann konvergiert X_{n} gegen X stochastisch, und {X_{n} | n ∈ ℕ} ist gleichmäßig integrierbar.