Wahrscheinlichkeitstheorie I WS 06/07 Serie 1

1. ( Gleichverteilung ).

a) Sei Ω eine endliche Menge. Definiere die Gleichverteilung P auf Ω, und zeige durch Überprüfen der Axiome, daß P eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist.

b) In einer Urne befinden sich N Kugeln, davon K rote. Wir ziehen n Kugeln ohne Zurücklegen. Beschreibe dieses Modell durch einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum. Zeige: Die Wahrscheinlichkeit, daß die Stichprobe k rote Kugeln enthält, ist

\binom{K}{k}\binom{N − K}{n − k} /\binom{N}{n} .

2. ( Kolmogorovsche Axiome ). Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, und seien A, B ∈ A.

a) Es gelte P [A] = \frac{3}{4} und P [B] = \frac{1}{3}. Zeige \frac{1}{12} ≤ P [A ∩ B] ≤ \frac{1}{3}, und demonstriere anhand von Beispielen, daß beide Extremfälle eintreten können.

b) Ist A ∪ B = Ω, dann gilt

P [A ∩ B] = P [A] P [B] − P [A^{c}] P [B^{c}] .

3. In einer Stadt mit n + 1 Einwohnern erzählt eine Person einer zweiten ein Gerücht, diese ihrerseits erzählt es einer dritten, usw. Bei jedem Schritt wird der ,,Empfänger” zufällig aus den n möglichen ausgewählt. Das Gerücht wird r mal weitererzählt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, daß es

a) nicht zum Urheber zurückkommt,

b) keiner Person zweimal erzählt wird.

c) Setze im Ergebnis von a) insbesondere r = n + 1, und berechne den Limes für n → ∞.

4. Sei Ω = {ω = (x_{1}, x_{2}, …)| x_{i} ∈ {−1, +1} }. Wir definieren Abbildungen S_{n} : Ω → ℝ, n ∈ ℕ, durch

S_{n}(ω) := \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} x_{i} falls ω = (x_{1}, x_{2}, …) .

Was bedeuten die den folgenden Mengen zugeordneten Ereignisse anschaulich ?

a) S_{n}^{−1}([−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]) b) ⋂_{n∈ℕ}S_{n}^{−1}([−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]) c) ⋂ ; \begin{matrix}ε ∈ ℚ \\ ε > 0 \end{matrix} ⋃_{n} ⋂_{m≥n} S_{m}^{−1}([−ε, ε])

5. Sei P die Menge der Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf einer abzählbaren Menge Ω.

a) Zeige, daß P konvex ist.

*b) Beschreibe die Extremalpunkte von P, und zeige, daß sich jedes P ∈ P als ,,Mischung” von Extremalpunkten darstellen läßt, d.h.

P = ∑_{i} α_{i}P_{i} mit α_{i} ≥ 0, ∑_{i} α_{i} = 1, P_{i} extremal.

**6. ( Eine nicht meßbare Teilmenge von S^{1} ). Sei S^{1} = {e^{iθ} : θ ∈ ℝ} der Einheitskreis in ℂ ≅ ℝ^{2}. Betrachte die Äquivalenzklassen auf S^{1} bzgl. der Relation

z ∼ ω  ⇔  z = e^{iα}w für ein α ∈ ℚ .

Folgere aus dem Auswahlaxiom die Existenz von disjunkten Mengen A_{q}, q ∈ ℚ, die alle auseinander durch Rotation um den Ursprung hervorgehen, so daß

S^{1} = ⋃_{q∈ℚ}A_{q} .

Erkläre anschaulich, warum die Existenz des zweidimensionalen Lebesguemaßes impliziert, daß die Mengen A_{q} nicht Borelsch sind.

Bemerkung: Das Banach-Tarski-Paradox besagt, daß eine Teilmenge F der Einheitssphäre S^{2} ⊂ ℝ^{3} existiert, sodaß sich S^{2} für jedes 3 ≤ k ≤ ∞ als disjunkte Vereinigung von k Mengen schreiben läßt, die alle durch Rotation von F um den Nullpunkt entstehen !