Wahrscheinlichkeitstheorie I WS 06/07 Serie 3

1. ( Bandrika 1 ).

Du hast dich im Nationalpark von Bandrika verlaufen. Von den Besuchern im Park sind zwei Drittel Touristen. Fragen nach der Richtung werden von diesen mit Wahrscheinlichkeit \frac{3}{4} richtig beantwortet. Dabei sind Antworten auf wiederholte Fragen unabhängig (s. Aufgabe 2), auch wenn die Frage und die Person dieselben sind. Wenn man hingegen einen Bandrikaner fragt, ist die Antwort immer falsch.

a) Du fragst eine Person, ob der Ausgang sich in Richtung Osten oder Westen befindet. Als Antwort erhälst du Osten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das richtig ist?

b) Du fragst dieselbe Person nochmals und bekommst dieselbe Antwort. Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, nun die richtige Antwort erhalten zu haben, \frac{1}{2} beträgt.

c) Du richtest dieselbe Frage ein drittes Mal an dieselbe Person. wieder mit der Antwort Osten. Wie hoch ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass die Antwort stimmt?

d) Ein viertes Mal wird der geduldige Passant von dir gefragt, doch die Antwort ist wieder Osten. Zeige, dass die Antwort mit Wahrscheinlichkeit \frac{27}{70} richtig ist.

e) Zeige für den Fall, dass die vierte Antwort Westen wäre, dass die Richtung Osten mit Wahrscheinlichkeit \frac{9}{10} zutrifft.

2. ( Unabhängigkeit von Ereignissen ).

Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Zwei Ereignisse A_{1}, A_{2} ∈ A heißen unabhängig, falls

P [A_{1} ∩ A_{2}] = P [A_{1}]P [A_{2}]

gilt. Allgemeiner heißen Ereignisse A_{1}, …, A_{n} ∈ A unabhängig, falls

P [A_{i_{1}} ∩ A_{i_{2}} ∩ … ∩ A_{i_{k}}] = P [A_{i_{1}}]P [A_{i_{2}}] · . . . · P [A_{i_{k}}]

für alle 1 ≤ k ≤ n und 1 ≤ i_{1} < i_{2} … < i_{k} ≤ n.

a) Zeige: Sind A_{1} und A_{2} unabhaengige Ereignisse, so auch A_{1}^{c} und A_{2}, sowie A_{1}^{c} und A_{2}^{c}. Folgere (z.B. durch Induktion): Sind A_{1}, …, A_{n} ∈ A unabhängige Ereignisse und B_{i} ∈ {A_{i}, A_{i}^{C}} für alle 1 ≤ i ≤ n, dann sind die Ereignisse B_{1}, …, B_{n} unabhängig. b) Folgere: Sind A_{1}, …, A_{n} ∈ A unabhängig und P [A_{i}] = p ∈ [0, 1] für alle 1 ≤

i ≤ n, dann ist die Anzahl S_{n}(ω) der eingetretenen Ereignisse binomialverteilt mit Parametern n und p, d.h.

P [S_{n} = k] = \binom{n}{k}p^{k}(1 − p)^{n−k} ∀k = 0, 1, … n.

3. ( Law of Averages ). Eine unendliche Familie von Ereignissen A_{1}, A_{2}, … heißt unabhängig falls jede endliche Teilfamilie A_{i_{1}}, A_{i_{2}}, … A_{i_{k}}, k ≥ 1 und 1 ≤ i_{1} < i_{2} … < i_{k} beliebig, unabhängig ist (s. Aufgabe 2). Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Betrachte eine Folge von unabhängigen Ereignissen A_{1}, A_{2}, … mit P [A_{i}] = p ∈ [0, 1] für alle i ≥ 1. Die Anzahl S_{n}(ω) der eingetretenen unter den ersten n Ereignissen ist gegeben durch

S_{n}(ω) = ∑_{i=1}^{n} I_{A_{i}}(ω).

a) Zeige: Für alle ε > 0 und n ∈ ℕ

P [\frac{S_{n}}{n} ≥ p + ε] ≤ e^{− \frac{nε^{2}}{2p·(1−p)}} und P [\frac{S_{n}}{n} ≤ p − ε] ≤ e^{− \frac{nε^{2}}{2p·(1−p)}}

b) Zeige:

P [ lim_{n→∞} \frac{S_{n}}{n} = p] = 1.

Hinweis:

pe^{λ(1−p)} + (1 − p)e^{−λp} ≤ e^{\frac{λ^{2}}{2} p(1−p)}

4. ( Das Ruinproblem ).

Ein Mann hat sich k Euro für einen Jaguar gespart, der N Euro kostet (0 < k < N). Um den fehlenden Betrag zu gewinnnen, lässt er sich auf folgendes Spiel ein: Er wirft wiederholt eine faire Münze. Erscheint Kopf, dann erhält er einen Euro, kommt hingegen Zahl, so zahlt er einen Euro an die Bank. Er spielt so lange, bis eine der folgenden zwei Möglichkeiten eintritt: Entweder er verliert das ganze Geld, oder er gewinnt genug, um sich den Jaguar leisten zu können. Sei A das Ereignis, dass der Mann alles verliert, und p_{k} = P_{k}[A] die Wahrscheinlichkeit dafür zum Startwert k. Zeige:

p_{k} = \frac{1}{2}(p_{k+1} + p_{k−1}), 0 < k < N,

und löse diese Differenzengleichung zu den Randbedingungen p_{0} = 1, p_{N} = 0.