Wahrscheinlichkeitstheorie I WS 03/04 Serie 9

1. Sei P_{p} die zum Münzwurfmodell mit Erfolgsparameter p ∈ [0, 1] gehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem Raum Ω der binären Folgen ω = (x_{1}, x_{2}, …), und sei X_{i}(ω) = x_{i}. Sei P die durch

P [A] = ∫_{0}^{1} P_{p}[A] dp

definierte Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Ω.

a) Sind die Zufallsvariablen X_{1}, X_{2}, … unabhängig bezüglich P ?

b) Sei S_{n} = X_{1} +⋯+X_{n}. Wie verhalten sich die empirischen Mittelwerte \frac{1}{n}S_{n} unter P ?

2. Seien X_{1}, X_{2}, … unabhängige identisch verteilte Zufallsvariablen mit stetiger Verteilungsfunktion. Seien E_{1} := Ω, und, für n ≥ 2,

E_{n} := {X_{n} > X_{m} ∀ m < n} = ,,ein Rekord wird zur Zeit n erreicht”.

Zeige, daß die Ereignisse E_{1}, E_{2}, … unabhängig sind mit P [E_{n}] = 1/n.

3. Eine Münze mit Wahrscheinlichkeit p für ,,Zahl” wird wiederholt geworfen. Sei A_{k} das Ereignis, daß bei den Würfen 2^{k}, 2^{k} + 1, …, 2^{k+1} − 1 mindestens k mal in Folge ,,Zahl” fällt. Zeige:

a)  P [A_{k} unendlich oft ] = 0 falls p < 1/2.
b)  P [A_{k} unendlich oft ] = 1 falls p ≥ 1/2.

Hinweis zu b): Betrachte die Ereignisse E_{i}, daß in den k Würfen ab dem 2^{k} + (i − 1)k–ten Wurf stets Zahl fällt.

4. ( Ratenfunktionen für große Abweichungen ). Seien X_{1}, X_{2}, … iid Zufallsvariablen mit den unten angegebenen Verteilungen. Berechne jeweils die momentenerzeugenden Funktionen M(t), und skizziere die Graphen von Λ(t) = log M(t), und von der Ratenfunktion Λ^{∗}(a). Zeige, daß Λ^{∗} die angegebene Form hat. Erkläre den Verlauf von Λ^{∗} anschaulich.

a) Bernoulliverteilung: P [X_{i} = 0] = 1 − p, P [X_{i} = 1] = p, p ∈ (0, 1). Λ^{∗}(a) = a log \frac{a}{p} + (1 − a) log \frac{1−a}{1−p} für a ∈ (0, 1), ∞ für a ∉ [0, 1].

b) Exponentialverteilung mit Parameter λ > 0:

Λ^{∗}(a) = λa − 1 − log(λa) für a > 0, ∞ für a ≤ 0.

5. ( Satz von Cramér).

a) Gib ein Beispiel einer Verteilung, für die alle Momente endlich sind, aber deren momentenerzeugende Funktion M(t) für alle t ≠ 0 unendlich ist.

b) Seien X_{1}, X_{2}, … iid mit E[X_{i}] = m. Formuliere den Satz von Cramér. Seien Λ und Λ̃ die logarithmischen momentenerzeugenden Funktionen von X_{i} bzw. X̃_{i} := X_{i} − m. Zeige:

Λ̃(t) = Λ(t) − tm .

In welcher Beziehung stehen die Legendretransformationen Λ^{∗} und Λ̃^{∗} ? Warum genügt es, den Satz von Cramér für zentrierte Zufallsvariablen zu beweisen ?

Abgabe bis Freitag 19.12., 13 Uhr.