Wahrscheinlichkeitstheorie I WS 03/04 Serie 8

1. Angenommen, die Anzahl der Geburten an einem Tag in einem Krankenhaus ist Poissonverteilt mit Parameter λ. Jede Geburt ist ein Junge mit Wahrscheinlichkeit p und ein Mädchen mit Wahrscheinlichkeit q = 1 − p, unabhängig von anderen Geburten (und unabhängig von der Gesamtzahl der Geburten). Seien J und M die Zahl der Jungen bzw. Mädchen.

a) Zeige : P [J = j, M = m] = \frac{e^{−λp}(λp)^{j}}{j!} · \frac{e^{−λq}(λq)^{m}}{m!} .

b) Folgere : J und M sind unabhängig und Poissonverteilt mit Parameter λp bzw. λq.

2. Seien X_{1}, X_{2}, … unabhängig und exponentialverteilt mit λ = 1. Zeige :

a) lim inf_{n→∞} X_{n} = 0 P –f.s. b) lim sup_{n→∞} \frac{X_{n} − log n}{log log n} = 1 P –f.s.

3. ( Tail events ). Sei X_{1}, X_{2}, … eine Folge von unabhängigen positiven Zufallsvariablen auf (Ω, A, P).

a) Welche der folgenden Ereignisse sind tail events ?

{X_{n} > 2n unendlich oft}, {lim inf X_{n} < 17}, {inf X_{n} > 5},

\{∑_{n=1}^{∞} X_{n} < 1\}, \{∑_{n=1}^{∞} X_{n} < ∞\}, \{∃ lim_{n→∞} \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} X_{i}\}.

b) Gib Beispiele von tail–field–meßbaren Zufallsvariablen.

4. ( Unabhängigkeit von Zufallsvariablen ). Seien X_{1}, …, X_{n} Zufallsvariablen auf (Ω, A, P). Zeige :

a) Nimmt jedes X_{i} nur abzählbar viele Werte an, dann sind X_{1}, …, X_{n} genau dann unabhängig, wenn

P [X_{1} = a_{1}, …, X_{n} = a_{n}] = ∏_{k=1}^{n} P [X_{k} = a_{k}] ∀ a_{k} ∈ X_{k}(Ω) (1 ≤ k ≤ n).

b) Allgemein sind X_{1}, …, X_{n} genau dann unabhängig, wenn

P [X_{1} ≤ c_{1}, …, X_{n} ≤ c_{n}] = ∏_{k=1}^{n} P [X_{k} ≤ c_{k}] ∀ c_{k} ∈ ℝ (1 ≤ k ≤ n).

*5. ( Rückkehr des random walk zum Startpunkt ). Sei S_{n}(ω) (n = 1, 2, …, 2N) der random walk auf ℤ mit Start in 0, und sei

T_{0}(ω) = min {n > 0 | S_{n}(ω) = 0 }

die erste Rückkehrzeit nach 0 und

L(ω) = max {0 ≤ n ≤ 2N | S_{n}(ω) = 0 }

der Zeitpunkt des letzten Besuchs in 0. Zeige :

P [T_{0} > 2n] = P [S_{2n} = 0]  und
P [L = 2n] = P [S_{2n} = 0] · P [S_{2N−2n} = 0] = 2^{−2N} \binom{2n}{n}\binom{2N − 2n}{N − n} .