Wahrscheinlichkeitstheorie I WS 03/04 Serie 7

1. ( Polyas Urnenmodell ). Eine Urne enthält zur Zeit n = 0 je eine rote und eine schwarze Kugel. Vor jedem Zeitpunkt n = 1, 2, 3, … wird eine zufällig ausgewählte Kugel entnommen, und zusammen mit einer neuen Kugel derselben Farbe in die Urne zurückgelegt. Sei R_{n} die Anzahl der roten Kugeln zur Zeit n. Berechne die Wahrscheinlichkeiten

p_{n,r} := P [R_{n} = r] (n ≥ 0, 1 ≤ r ≤ n + 1 )

a) für n = 1, 2 und 3, b) allgemein.

2. ( Lebensversicherung etc. ). Sei T : Ω → {0, 1, 2, …} eine zufällige Lebenszeit (meßbar) mit sukzessiven Überlebenswahrscheinlichkeiten

p_{n} = P [T ≥ n + 1 | T ≥ n] (n = 0, 1, 2, …) .

Berechne daraus die Verteilung von T und den Erwartungswert E[T]. Welche Verteilung ergibt sich für konstante Überlebenswahrscheinlichkeiten p_{n} ≡ p ∈ (0, 1) ?

3. A_{1}, A_{2}, … sei eine Folge von unabhängigen Ereignissen auf (Ω, A, P) mit P [A_{n}] < 1 und P [⋃_{n=1}^{∞} A_{n}] = 1. Zeige :

P [ ⋂_{m=1}^{∞} ⋃_{n=m}^{∞} A_{n}] = 1 .

4. ( Unabhängigkeit und Zahlentheorie ). Sei s > 1. Die Riemannsche Zeta–Funktion ist definiert durch

ζ(s) := ∑_{n=1}^{∞} n^{−s} .

Sei X eine Zufallsvariable mit Werten in ℕ und Verteilung

P [X = n] = \frac{n^{−s}}{ζ(s)} .

Sei E_{m} das Ereignis ,,X ist teilbar durch m”. a) Zeige P [E_{m}] = m^{−s} für alle m ∈ ℕ.

b) Zeige, daß die Ereignisse E_{p}, p Primzahl, unabhängig sind.

( 1 ist keine Primzahl! )

c) Berechne P [⋂ E_{p}^{c}], und folgere die Eulersche Formel

\frac{1}{ζ(s)} = ∏_{p Primzahl} (1 − \frac{1}{p^{s}} ) .

d) Zeige: Die Wahrscheinlichkeit, daß X durch keine Quadratzahl außer 1 teilbar ist, beträgt 1/ζ(2s).

*e) (optional). Sei Y unabhängig von X (d.h. P [Y = m, X = n] = P [Y = m] · P [X = n]) mit derselben Verteilung, und sei H der größte gemeinsame Teiler von X und Y. Sei B_{p} das Ereignis, daß X und Y beide durch p teilbar sind. Was hat das Ereignis ⋂ B_{p}^{c} mit H zu tun ? Zeige :

P [H = n] = \frac{n^{−2s}}{ζ(2s)} .

5. ( Hölderungleichung ). Sei p ∈ (1, ∞), und sei X ∈ L^{p}(Ω, A, P) mit ∫ |X|^{p} dP ≠ 0. Sei Q die bzgl. P absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung auf (Ω, A) mit Dichte ρ(ω) = |X(ω)|^{p}/ ∫ |X|^{p} dP.

a) Formuliere die Jensensche Ungleichung bzgl. Q.

b) Sei q ∈ (1, ∞) mit \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. Beweise die Hölderungleichung :

∫ |XY | dP ≤ (∫ |X|^{p})^{1/p}·(∫ |Y |^{q})^{1/q} für alle Y ∈ L^{q}(Ω, A, P).

6. ( Gleichmäßige Integrierbarkeit ). Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Zeige : Konvergiert X_{n} gegen X in L^{1}(Ω, A, P), dann konvergiert X_{n} gegen X stochastisch, und {X_{n} | n ∈ ℕ} ist gleichmäßig integrierbar.