Wahrscheinlichkeitstheorie I WS 03/04 Serie 6

1. ( Unfaire Münzwürfe und asymmetrischer random walk ).

a) Eine Münze wird wiederholt geworfen. Bei jedem Wurf fällt ,,Zahl” mit Wahrscheinlichkeit p. Seien K_{n} und Z_{n} die Anzahlen von ,,Kopf” bzw. ,,Zahl” bei den ersten n Würfen. Zeige für ε > 0 :

lim_{n→∞} P [2p − 1 − ε ≤ \frac{1}{n}(Z_{n} − K_{n}) ≤ 2p − 1 + ε] = 1 .

b) Beim asymmetrischen random walk (biassed random walk) S_{n} (n = 0, 1, 2, …) auf ℤ wird vor jedem Bewegungsschritt eine Münze mit Wahrscheinlichkeit p ≠ \frac{1}{2} für ,,Zahl” geworfen. Fällt Kopf bzw. Zahl, dann fällt bzw. steigt die Position im nächsten Schritt um eine Einheit. Zeige, daß S_{n} mit Wahrscheinlichkeit 1 nur endlich oft zum Startpunkt zurückkehrt.

2. ( Gesetz der großen Zahlen ). Sei X_{1}, X_{2}, … eine Folge von Zufallsvariablen mit E[X_{i}] = m und var (X_{i}) = σ^{2}. Es gelte

|cov (X_{i}, X_{j})| ≤ r(|i − j|)

für eine Funktion r : ℕ → (0, ∞). Finde Bedingungen für r, also Bedingungen für das ,,Abklingen” der Korrelationen, unter denen immer noch das schwache Gesetz der großen Zahlen

lim_{n→∞} P [ |\frac{X_{1} + X_{2} + ⋯ + X_{n}}{n} − m| > ε] = 0 ∀ ε > 0 gilt.

3. ( Unabhängige Zufallsvariablen ). Zwei Zufallsvariablen X, Y auf (Ω, A, P) heißen unabhängig falls für alle A, B ∈ B(\overline{ℝ}) gilt :

P [X ∈ A, Y ∈ B] = P [X ∈ A] P [Y ∈ B] .

a) Zeige : Sind X, Y : Ω → ℝ unabhängige Zufallsvariablen, dann gilt

E[f(X) g(Y)] = E[f(X)] E[g(Y)]

für alle Borel–meßbaren Funktionen f, g ≥ 0 auf ℝ.

(Betrachte zunächst den Fall, daß f und g Elementarfunktionen sind.)

b) Folgere, daß unabhängige Zufallsvariablen X, Y ∈ L^{2}(Ω, A, P) unkorreliert sind.

c) Gib ein Beispiel für Zufallsvariablen, die unkorreliert, aber nicht unabhängig sind.

4. ( Große Abweichungen für den random walk ). Sei S_{n} = X_{1} + X_{2} + … + X_{n} (n = 0, 1, 2, …) der random walk auf ℤ mit Start in 0 (s. Vorlesung), und sei Z(λ) := E[e^{λX_{i}}]. Zeige für λ > 0 :

a) Z(λ) = cosh λ ≤ e^{λ^{2}}/2 .

b) E[e^{λS_{n}}] = Z(λ)^{n}.

c) P [\frac{S_{n}}{n} ≥ ε] ≤ e^{−(λε−log Z(λ))n} für alle ε > 0.

d) P [\frac{S_{n}}{n} ≥ ε] ≤ e^{−ε^{2}n/2} .

Die Wahrscheinlichkeit, daß \frac{S_{n}}{n} vom Erwartungswert 0 um mehr als ε abweicht (,,große Abweichung”), geht also exponentiell schnell gegen 0.

5. ( Gleichmäßige Integrierbarkeit ). Zeige, daß eine Familie {X_{i} | i ∈ I} von Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) gleichmäßig integrierbar ist, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist :

a) Integrierbare Majorante : Es existiert Y ∈ L^{1}(Ω, A, P) mit

|X_{i}| ≤ Y ∀ i ∈ I .

b) L^{p}–Beschränktheit für p > 1 : Es existiert p > 1 mit

sup_{i∈I} E[|X_{i}|^{p}] < ∞ .

c) Warum ist L^{1}–Beschränktheit nicht hinreichend für gleichmäßige Integrierbarkeit ?