Wahrscheinlichkeitstheorie I WS 03/04 Serie 5

1. Seien X_{1}, X_{2}, … unabhängige 0-1-Experimente auf (Ω, A, P) mit Erfolgswahrscheinlichkeit P [X_{i} = 1] = p, p ∈ (0, 1]. Sei

T (ω) = min {k ∈ ℕ| X_{k}(ω) = 1 }

die Wartezeit auf den ersten Erfolg. Zeige, daß T eine Zufallsvariable ist, und berechne den Erwartungswert und die Varianz.

2. ( Von stochastischer zu fast sicherer Konvergenz ). Formuliere und beweise das 1. Borel-Cantelli-Lemma. Seien X, X_{n} (n ∈ ℕ) Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P). Zeige :

a) Gilt

∑_{n=1}^{∞} P [|X_{n} − X| > ε] < ∞ für alle ε > 0 ,

dann konvergiert X_{n} P –fast sicher gegen X.

b) Konvergiert X_{n} stochastisch gegen X, dann existiert eine Teilfolge X_{n_{k}} mit X_{n_{k}} → X P –fast sicher.

3. ( Gaußsche Zufallsvariablen ). Die Normalverteilung (Gaußverteilung) mit Parametern m ∈ ℝ, v > 0, ist das Maß μ_{m,v} auf (ℝ^{1}, B(ℝ^{1})) mit Dichte

f_{m,v}(x) = \frac{1}{\sqrt{2πv}} e^{− \frac{(x−m)^{2}}{2v}}

bezüglich des Lebesguemaßes (Skizze ?)

a) Zeige, daß μ_{m,v} eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist, und berechne den Erwartungswert und die Varianz. ( ∫_{−∞}^{∞} exp(−x^{2}/2) dx = \sqrt{2π} )

b) Sei X eine Zufallsvariable auf (Ω, A, P) mit Verteilungsfunktion F, und seien σ > 0, b ∈ ℝ. Welche Verteilungsfunktion hat die Zufallsvariable

Y := σX + b ?

c) Welche Verteilung hat Y falls X μ_{0,1}–verteilt ist ?

4. ( Ballot theorem ).

a) Wir betrachten den random walk mit Start in 0. Für a ∈ ℤ sei

T_{a}(ω) = min {n ∈ ℕ| S_{n}(ω) = a} .

Insbesondere ist T_{0} die erste Rückkehrzeit zum Startpunkt. Zeige für a > 0 :

P [ T_{0} > n und S_{n} = a] = P [ T_{a} = n] = \frac{a}{n} P [ S_{n} = a] .

( Die Aussage von Aufgabe 4 vom letzten Blatt kann vorausgesetzt werden ).

b) Bei einer Wahl erhält Kandidat A α Stimmen, und Kandidat B β Stimmen, α > β. Angenommen, die Stimmen werden in ,,völlig zufälliger” Reihenfolge ausgezählt. Zeige : Die Wahrscheinlichkeit, daß A während der Stimmenauszählung stets in Führung liegt, ist \frac{α−β}{α+β}.

5. ( Berechnung von Erwartungswerten aus der Verteilung ). Sei T ≥ 0 eine Zufallsvariable auf (Ω, A, P). Beweise ohne Verwendung des Satzes von Fubini, daß x ↦ P [T > x] Borel–meßbar ist mit

E[T] = ∫_{0}^{∞} P [T > x] dx .

Hinweis : Betrachte zunächst den Fall, daß T nur endlich viele Werte 0 = c_{0} < c_{1} < … < c_{k} annimmt. Zeige

E[T] = ∑_{i=1}^{k}(c_{i} − c_{i−1}) P [T ≥ c_{i}] = ∫_{0}^{∞} P [T > x] dx .

6. ( Faktorisierungslemma ).

a) (Ω, A) und (S, S) seien meßbare Räume, und X eine meßbare Abbildung von Ω nach S. Zeige, daß sich jede σ(X) meßbare Zufallsvariable Y auf die Form

Y = h(X)

mit einer meßbaren Funktion h : S → \overline{ℝ} bringen läßt.

b) Seien X_{1}, X_{2}, …: Ω → ℝ Zufallsvariablen, und sei

F_{n} = σ(X_{1}, …, X_{n}), n ∈ ℕ.

Die Ereignisse in F_{n} repräsentieren die bis zur Zeit n verfügbare ,,Information” über (X_{i})_{i∈ℕ}. Zeige: Die F_{n}–meßbaren Zufallsvariablen auf (Ω, A) sind genau die Funktionen vom Typ

Y = f(X_{1}, …, X_{n}) , f : ℝ^{n} → \overline{ℝ} Borel–meßbar.