Wahrscheinlichkeitstheorie I WS 03/04 Serie 4

1. ( Dichten für diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen ).

Seien P [A] = ∑_{ω∈A} p(ω) und Q[A] = ∑_{ω∈A} q(ω) , A ∈ P(Ω) ,

Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf einer abzählbaren Menge Ω. Zeige, daß P genau dann eine Dichte ρ bzgl. Q hat, wenn P in folgendem Sinn absolutstetig bzgl. Q ist:

∀ ω ∈ Ω : q(ω) = 0 ⇒ p(ω) = 0 .

In diesem Fall gilt

ρ(ω) = \frac{p(ω)}{q(ω)} für alle ω ∈ Ω mit q(ω) ≠ 0.

2. ( Simulation von Zufallsvariablen ). Sei F : ℝ → [0, 1] die Verteilungsfunktion einer reellwertigen Zufallsvariable Xauf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P).

a) Zeige : F ist monoton wachsend und rechtsstetig mit

lim_{x→−∞} F (x) = 0 und  lim_{x→∞} F (x) = 1 .

b) Sei λ_{(0,1)} die Gleichverteilung auf (0, 1). Wie sieht der Graph von F aus, falls die Verteilung von X gleich \frac{1}{2}λ_{(0,1)} + \frac{1}{2}δ_{2} ist ?

c) Für u ∈ (0, 1) sei

X̃(u) := inf {x ∈ ℝ| F (x) ≥ u} = sup {x ∈ ℝ| F (x) < u}

die ,,linksstetige verallgemeinerte Inverse” von F. Skizziere X̃ für das Beispiel aus b). Zeige, daß X̃ eine Zufallsvariable auf dem Wahrscheinlichkeitsraum

((0, 1), B((0, 1)), λ_{(0,1)})

ist, die dieselbe Verteilung wie X unter P hat. ( Ein Element ω ∈ (0, 1) repräsentiert z.B. eine vom Computer erzeugte ,,Zufallszahl”. Dies liefert eine Möglichkeit, die Zufallsvariable X auf dem Computer zu simulieren. Welche Probleme könnten dadurch entstehen, daß vom Computer erzeugte Zufallszahlen nie wirklich zufällig sind, sondern durch einen deterministischen Algorithmus generiert werden ? Für welche Arten von Verteilungsfunktion könnte es insbesondere Probleme geben ? )

3. Seien X_{1}, X_{2}, … unkorrelierte Zufallsvariable auf (Ω, A, P) mit Erwartungswert m und Varianz σ^{2} (m, σ ∈ ℝ). Sei S_{n} = X_{1} + … + X_{n}.

a) Zeige:

var (\frac{S_{n}}{n} ) → 0 für n → ∞.

b) Für alle Y ∈ L^{2}(Ω, A, P) und ε > 0 gilt :

var (Y) ≥ ε^{2} · P [|Y − E[Y]| ≥ ε] .

c) \frac{S_{n}}{n} konvergiert stochastisch gegen m, d.h.

lim_{n→∞} P [|\frac{S_{n}}{n} − m| ≥ ε] = 0 für alle ε > 0.

4. ( Random walk ). Sei P die Gleichverteilung auf Ω = {ω = (x_{1}, …, x_{N})| x_{i} ∈ {−1, +1} } und X_{i}(ω) = x_{i}. Wir interpretieren

S_{n} = X_{1} + … + X_{n} (n = 0, 1, …, N)

als die zufällige Bewegung eines Teilchens auf ℤ mit Start in 0 (random walk). Für a ∈ ℕ sei

T_{a} = min {n > 0| S_{n} = a}

der Zeitpunkt des ersten Besuchs in a. Zeige : a) Für jedes c > 0 gilt :

P [S_{n} = a − c, T_{a} ≤ n] = P [S_{n} = a + c] ,,Reflektionsprinzip”.

*b) Für die Verteilung von T_{a} gilt:

P [T_{a} ≤ n] = P [S_{n} ∉ [−a, a − 1]] ,
P [T_{a} = n] = \frac{1}{2}(P [S_{n−1} = a − 1] − P [S_{n−1} = a + 1]) = \frac{a}{n}P [S_{a} = n] .

Hinweis : \frac{1}{2}(P [S_{n−1} = a − 1] + P [S_{n−1} = a + 1]) = P [S_{n} = a].

5. ( Darts ). Ein Spieler wirft mit Pfeilen auf eine Dartsscheibe. Der Auftreffpunkt sei durch die absolutstetige Verteilung

P [B] = \frac{1}{2πσ^{2}} ∫_{B} e^{− \frac{x^{2}_{1}+x^{2}_{2}}{2σ^{2}}} λ(dx) , σ > 0,

auf (ℝ^{2}, B(ℝ^{2})) beschrieben.

a) Sei R(x_{1}, x_{2}) = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} der Abstand vom Mittelpunkt der Scheibe. Zeige

P [R > r_{0}] = exp(−\frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{2σ^{2}} ) für alle r_{0} ∈ ℝ,

und berechne den Erwartungswert von P.

b) Sei T = X^{−1}, wobei X : (0, ∞) × [0, 2π) → ℝ^{2} \ {0},

X(r, φ) = (r cos φ, r sin φ),

die Transformation auf Polarkoordinaten ist. Die Komponenten R und Φ von T geben also den Abstand vom Nullpunkt und den Polarwinkel an. Zeige, daß das Bildmaß P ∘ T^{−1} ( also die gemeinsame Verteilung von R und Φ ) eine Dichte bzgl. des zweidimensionalen Lebesguemaßes hat, und berechne diese.