Wahrscheinlichkeitstheorie I WS 03/04 Serie 3

1. Sei P die Gleichverteilung auf der Menge Ω der Permutationen von {1, …, n}. Für eine Permutation ω bezeichne X(ω) die Anzahl der Fixpunkte. Berechne den Erwartungswert E[X] und die Varianz

Var(X) = E[X^{2}] − E[X]^{2} .

Hinweis: X = ∑_{i=1}^{n} I_{{ω∈Ω|ω(i)=i}}.

2. Sei Z eine Zufallsvariable, die nur die Werte 0, 1, 2, … annimmt. Zeige:

E[Z] = ∑_{n=0}^{∞} P [Z > n] .

3. ( Absolutstetige Verteilungen ).

a) Sei ρ : ℝ → [0, ∞) Lebesgue–integrierbar mit ∫_{ℝ} ρ(x) λ(dx) = 1, und

sei

P [A] = ∫_{A} ρ(x) λ(dx)

die absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung auf B(ℝ) mit Dichte ρ. Zeige, daß der Erwartungswert einer Zufallsvariablen T ≥ 0 bzgl. P durch

E[T] = ∫ T (x) ρ(x) λ(dx)

gegeben ist.

b) Die Exponentialverteilung mit Parameter λ ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung P_{λ} auf ℝ mit Dichte

ρ_{λ}(x) = \frac{1}{λ}e^{−λx} · I_{(0,∞)}(x) .

Berechne die Verteilungsfunktion

F_{λ}(c) = P_{λ}[(−∞, c]] , c ∈ ℝ ,

und den Erwartungswert der Zufallsvariablen T (x) := x.

( Bemerkung: Die Exponentialverteilung tritt u.a. auf bei der Modellierung zufälliger Zeitpunkte, z.B. Ankunftszeit des nächsten Kunden in einer Warteschlange, Zeit des nächsten Atomzerfalls in einer radioaktiven Substanz, ... .)

4. ( Einschluß–/Ausschlußprinzip ). Seien (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, und A_{1}, …, A_{n} ∈ A. Zeige

I_{⋃ A_{i}} = 1 − ∏(1 − I_{A_{i}}) ,

und folgere

P [⋃ A_{i}] = ∑_{k=1}^{n}(−1)^{k+1} ∑_{1≤i_{1}<···<i_{k}≤n} P [A_{i_{1}} ∩ ⋯ ∩ A_{i_{k}}] .

5. ( Konvergenzsätze ). Seien X_{1}, X_{2}, … Zufallvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P),

und sei Y ∈ L^{1}(Ω, A, P).

a) Beweise das Lemma von Fatou :

X_{n} ≥ Y ∀ n ∈ ℕ  ⇒  E[lim inf_{n→∞} X_{n}] ≤ lim inf_{n→∞} E[X_{n}] .

b) Folgere den Satz von Lebesgue : Konvergiert die Folge X_{n} P –fast sicher, dann gilt :

|X_{n}| ≤ Y ∀ n ∈ ℕ  ⇒  E[ lim_{n→∞} X_{n}] = lim_{n→∞} E[X_{n}] .