Wahrscheinlichkeitstheorie I WS 03/04 Serie 2

1. ( Überbuchungen ).

Fluggesellschaften stellen fest, daß ein Passagier, der einen Platz reserviert hat, mit Wahrscheinlichkeit \frac{1}{10} nicht kommt. Daher verkauft Lyanair immer 100 Tickets für ein Flugzeug mit 95 Plätzen. Berechne die Überbuchungswahrscheinlichkeit p unter der Annahme, daß die einzelnen Passagiere unabhängig voneinander kommen oder wegbleiben. Leite sowohl eine exakte als auch eine näherungsweise Formel für p her, und schätze den numerischen Wert ungefähr ab.

2. Wir betrachten das Modell für unendlich viele faire Münzwürfe aus der Vorlesung.

a) Zeige :

P [ {ω = (x_{1}, x_{2}, …) ∈ Ω | x_{i} = 1 unendlich oft}] = 1 .

*b) Allgemeiner sei (a_{1}, a_{2}, …, a_{k}) eine beliebige endliche Sequenz von Nullen und Einsen. Zeige, daß mit Wahrscheinlichkeit 1 das ,,Wort” (a_{1}, …, a_{k}) unendlich oft in der Münzwurffolge ω = (x_{1}, x_{2}, …) vorkommt.

3. ( σ–Additivität und monotone Stetigkeit ).

Sei A eine σ–Algebra.

a) Zeige, daß eine additive Abbildung P : A → [0, ∞] genau dann σ– additiv ist, wenn gilt

A_{1} ⊆ A_{2} ⊆ … ⇒ lim_{n→∞} P [A_{n}] = P [⋃ A_{n}] .

b) Gilt P [Ω] = 1, dann ist die σ–Additivität von P auch äquivalent zur ∅–Stetigkeit :

A_{1} ⊇ A_{2} ⊇ … mit ⋂ A_{n} = ∅ ⇒ lim_{n→∞} P [A_{n}] = 0 .

4. ( Bonferroni’s Ungleichung ). Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, und seien A_{1}, …, A_{k} ∈ A. Zeige :

P [⋃_{i=1}^{k} A_{i}] ≥ ∑_{i=1}^{k} P [A_{i}] − ∑_{1≤i<j≤k} P [A_{i} ∩ A_{j}] .

In jeder Packung Corn Flakes befindet sich eins der Abziehbilder von n verschiedenen Fußballspielern, darunter 11 Nationalspieler. Wer die Bilder aller 11 Nationalspieler gesammelt hat, gewinnt eine Reise zur Europameisterschaft. Um die Reise auf jeden Fall zu gewinnen, kauft Fred Feuerstein 3n Packungen. Zeige, daß die Wahrscheinlichkeit, tatsächlich die gewünschten Bilder zu erhalten, zwischen 1−11·(1− \frac{1}{n})^{3n} und 1−11·(1− \frac{1}{n})^{3n}+55·(1− \frac{2}{n})^{3n} liegt. Welchen Wert haben diese Schranken ungefähr für große n ?

5. Die hypergeometrische Verteilung mit Parametern N, K, n ist durch die Gewichte

p(k) = \binom{K}{k}\binom{N − K}{n − k} /\binom{N}{n} , k = 0, 1, …, n,

gegeben, vgl. Übung 1 vom ersten Übungsblatt. Zeige :

Für N → ∞ und K → ∞ mit p = \frac{K}{N} konstant konvergiert die hypergeometrische Verteilung gegen die Binomialverteilung mit Parametern n, p.