Wahrscheinlichkeitstheorie I WS 03/04 Serie 12

Abgabe bis Freitag 23.1.04, 12 Uhr.

1. ( Charakteristische Funktionen ).

a) Die Doppelexponentialverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung μ auf ℝ mit Dichte f(x) = \frac{1}{2}e^{−|x|}. Zeige : Die charakteristische Funktion von μ ist φ(t) = \frac{1}{1+t^{2}} .

b) Folgere, daß φ(t) = e^{−|t|} die charakteristische Funktion der Cauchyverteilung ist ( Dichte f(x) = \frac{1}{π(1+x^{2})} ).

c) Zeige : Sind X_{1}, X_{2}, … unabhängige Cauchyverteilte Zufallsvariablen, dann sind die empirischen Mittelwerte \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} X_{i}, n ∈ ℕ, auch Cauchyverteilt. Warum ist dies kein Widerspruch zum Gesetz der großen Zahlen ?

2. ( Absolute und relative Dichten ). Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen μ und ν auf (ℝ, B(R)) seien absolutstetig bzgl. λ mit Dichten f und g.

a) In welchem Sinne ist die Dichte f eindeutig festgelegt ?

b) Wann ist μ absolutstetig bzgl. ν, und wie sieht dann die (relative) Dichte aus ?

3. ( Importance sampling ). Sei (S, S, μ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, und h ∈ L^{1}(μ). Wir wollen das Integral

I := ∫ h(x) μ(dx)

näherungsweise berechnen. Die einfache Monte Carlo Methode benutzt

I = lim_{n→∞} \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} h(X_{i}(ω)) P –f.s.,

wobei X_{1}, X_{2}, … iid mit Verteilung μ. Sie versagt, falls wir kein effektives Verfahren zum Samplen von μ haben, oder falls die Varianz von h bzgl. μ zu groß ist.

Alternativ sei μ absolutstetig mit Dichte ρ bzgl. einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ν auf (S, S), von der wir Stichproben erzeugen können. Seien Y_{1}, Y_{2}, … iid mit Verteilung ν, und sei

I_{n} := \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} h(Y_{i})ρ(Y_{i}) (n ∈ ℕ).

Zeige :

a) E[I_{n}] = I.

b) I_{n}(ω) → I P –fast sicher.

c) Ist ρ beschränkt und h ∈ L^{2}(μ), dann gilt

E[(I_{n} − I)^{2}] = \frac{1}{n} var_{ν} (hρ) .

*d) Wie kann man die sich hieraus ergebende Monte Carlo Methode modifizieren, wenn wir die Dichte ρ nur bis auf eine Normierungskonstante kennen ( d.h. ρ(x) = \frac{1}{Z} ρ̃(x) wobei ρ̃ bekannt ist, aber die Konstante Z > 0 nicht ) ?

4. ( Ruinwahrscheinlichkeiten für den random walk II ). Seien P_{x}, x ∈ ℤ, Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf einem meßbaren Raum (Ω, A). Die Zufallsvariablen S_{0}, X_{1}, X_{2}, X_{3}, … seien unabhängig bzgl. P_{x} für jedes x mit P_{x}[S_{0} = x] = 1 und P_{x}[X_{i} = +1] = P_{x}[X_{i} = −1] = \frac{1}{2}. Dann ist

S_{n} := S_{0} + X_{1} + X_{2} + ⋯ + X_{n} , n ∈ ℕ,

bzgl. P_{x} ein random walk mit Start in x. Sei λ ∈ ℕ. Für x ∈ ℤ mit 0 ≤ x ≤ λ sei

p(x) := P_{x}[ S_{n} erreicht 0 vor λ]

die Wahrscheinlichkeit für Ruin vor Erreichen von λ bei Start in x. Die folgende Methode liefert einen alternativen Beweis für die auf dem letzten Zettel bewiesene Formel für p(x): a) Begründe anschaulich (ohne Verwendung von Aufgabe 11.4), warum p

die Differenzengleichung

p(x) = \frac{1}{2} p(x + 1) + \frac{1}{2} p(x − 1) , 0 < x < λ,

bzw. (äquivalent)

(p(x + 1) − p(x)) − (p(x) − p(x − 1)) = 0 (1)

mit Randbedingungen

p(0) = 1 und p(λ) = 0 löst.

b) Zeige: Die allgemeine Lösung von (1) ist

p(x) = cx + d mit c, d ∈ ℝ.

Folgere p(x) = (λ − x)/λ (vgl. Aufgabe 11.4).

Bemerkung: Der Zugang über Stoppen des Prozesses beim Austritt aus (0, λ) (s. Aufgabe 11.4) funktioniert allgemein für Martingale, der Zugang über Differenzengleichungen funktioniert allgemein für Markovsche Ketten, s. Wahrscheinlichkeitstheorie II. Der random walk ist sowohl ein Martingal als auch eine Markovsche Kette.