Wahrscheinlichkeitstheorie I WS 03/04 Serie 11

Abgabe bis Freitag 16.1.04, 12 Uhr.

1. Beschreibe Algorithmen, um Stichproben von den Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf [0, 1] mit folgenden Dichten zu erzeugen :

a) f(x) = \frac{2}{π\sqrt{1 − x^{2}}}  (Arkussinusverteilung)
b) g(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{π\sqrt{1 − x^{2}}}

2. Sei T : Ω → {0, 1, 2, …} eine Zufallsvariable auf (Ω, A, P) mit

P [T = n | T ≥ n] =: p_{n} , n = 0, 1, 2, …

( z.B. erste Ausfallzeit einer Maschine mit Ausfallwahrscheinlichkeiten p_{n} ). Zeige : Sind U_{n} (n = 0, 1, 2, …) unabhängige, auf [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariablen, dann hat

T̃ := min {n ≥ 0 | U_{n} ≤ p_{n} }

dieselbe Verteilung wie T.

3. ( Konstruktion von Markovschen Ketten ). Seien μ(dx) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung und p(x, dy) ein stochastischer Kern auf einem endlichen Raum S mit σ–Algebra S := P(S).

a) Definiere, was eine Markovsche Kette mit Startverteilung μ und Bewegungsgesetz p ist.

b) Konstruiere induktiv Wahrscheinlichkeitsverteilungen P_{n} auf S^{n+1} = {(x_{0}, x_{1}, …, x_{n})|x_{i} ∈ S}, n ≥ 0, so daß der Koordinatenprozeß X_{i} : S^{n+1} → S,

X_{i}( (x_{0}, x_{1}, …, x_{n}) ) := x_{i} (0 ≤ i ≤ n)

unter P_{n} eine solche Markovsche Kette ist. c) Beschreibe einen Algorithmus zur Simulation dieses Prozesses.

4. ( Ruinwahrscheinlichkeit ). Seien X_{1}, X_{2}, … iid auf (Ω, A, P) mit P [X_{i} = +1] = P [X_{i} = −1] = \frac{1}{2}, und sei

S_{n} = x_{0} + ∑_{i=1}^{n} X_{i} (n ≥ 0)

der random walk auf ℤ mit Start in x_{0}. Für λ ∈ ℕ, λ > x_{0}, sei

T (ω) := min {n ∈ ℕ | S_{n}(ω) ∉ (0, λ)}

die erste Austrittszeit aus (0, λ).

a) Zeige: E[S_{T}] = x_{0} . (Hinweis: S_{T} = x_{0} + ∑_{i=1}^{∞} X_{i} · I_{{T ≥i}}.)

b) Folgere:

P [S_{T} = 0] = 1 − P [S_{T} = λ] = \frac{λ − x_{0}}{λ}

( Wahrscheinlichkeit, daß beim Startkapital x_{0} der Ruin des Spielers vor Erreichen des Levels λ eintritt ).

5. ( Maxwells Geschwindigkeitsverteilung ). Die Komponenten der Geschwindigkeit v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) eines Moleküls in einem idealen Gas seien unabhängig und N(0, σ^{2}) verteilt. Berechne die Verteilung von

|v| = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}}.

Hinweis: Berechne zuerst die Verteilung von v_{i}^{2}, dann die Verteilung von |v|^{2}.