Wahrscheinlichkeitstheorie I WS 03/04 Serie 10

Abgabe bis Freitag 9.1.04, 12 Uhr.

1. ( Produktdichten ).

a) Seien X_{1}, …, X_{n} unabhängige Zufallsvariablen mit absolutstetigen Verteilungen

P [X_{i} ∈ B] = ∫_{B} f_{X_{i}}(x) dx , B ∈ B(ℝ).

Zeige: Die gemeinsame Verteilung von X_{1}, …, X_{n} ist absolutstetig bzgl. λ(ℝ^{n}) mit Dichte

f(x_{1}, …, x_{n}) = ∏_{i=1}^{n} f_{X_{i}}(x_{i}) .

b) Umgekehrt seien X_{1}, …, X_{n} Zufallsvariablen, deren gemeinsame Verteilung absolutstetig mit einer Dichte in Produktform ist:

f(x_{1}, …, x_{n}) = ∏_{i=1}^{n} f_{i}(x_{i}) , f_{i} : ℝ → [0, ∞) meßbar.

Zeige: X_{1}, …, X_{n} sind unabhängig, und die Verteilungen sind absolutstetig mit Dichten

f_{X_{i}} = f_{i} /∫_{ℝ} f_{i} dx , 1 ≤ i ≤ n.

2. Seien X und Y unabhängig exponentialverteilt mit Parameter λ = 1. Bestimme die gemeinsame Verteilung von U := X + Y und V := \frac{X}{X+Y} . Folgere, daß V auf [0, 1] gleichverteilt ist.

3. ( Summen von unabhängigen Zufallsvariablen ). Seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen auf (Ω, A, P) mit Verteilung μ bzw. ν. Zeige:

a) P [X + Y ∈ B] = ∫ μ(dx) ν(B − x) ∀ B ∈ B(ℝ). b) Sind μ und ν absolutstetig bzgl. λ(ℝ) mit Dichte f bzw. g, dann ist

die Verteilung von X + Y absolutstetig mit Dichte

f ∗ g(z) := ∫_{ℝ} f(t) g(z − t) dt .

c) Sind X und Y N(0, 1) verteilt, dann ist X + Y N(0, 2) verteilt.

4. ( Gammaverteilung ). Sei Γ(r) = ∫_{0}^{∞} x^{r−1}e^{−x} dx (r > 0) die Eulersche Gammafunktion. Insbesondere gilt Γ(r + 1) = r · Γ(r) und damit Γ(n) = n! für alle n ∈ ℕ. Die Verteilung auf ℝ^{+} mit Dichte

f(x) = \frac{λ^{r}}{Γ(r)} x^{r−1} e^{−λx} (x ≥ 0)

heißt Gammaverteilung mit Parametern λ, r > 0. Zeige:

a) Sind X und Y unabhängig und Γ(λ, r) bzw. Γ(λ, s) verteilt, dann ist X + Y Γ(λ, r + s) verteilt.

b) Sind X_{1}, …, X_{n} i.i.d. exponentialverteilt mit Parameter λ, dann ist X_{1} + ⋯ + X_{n} Γ(λ, n) verteilt.

(Die Aussage von Aufgabe 3 kann vorausgesetzt werden.)

5. ( Ehrenfestmodell ). In zwei Urnen liegen Kugeln. Aus der Gesamtzahl der Kugeln beider Urnen wird eine Kugel zufällig herausgegriffen. Die gezogene Kugel wird dann aus ihrer Urne herausgenommen, und in die andere Urne gelegt.

a) Beschreibe den Vorgang durch eine Übergangswahrscheinlichkeit p(·, ·) auf der Menge S := ℤ_{+}^{2} aller Paare (k_{1}, k_{2}) von nichtnegativen ganzen Zahlen.

b) Sei μ die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf S mit den Gewichten

μ(k_{1}, k_{2}) = e^{−λ} \frac{λ^{k_{1}}}{k_{1}!} e^{−λ} \frac{λ^{k_{2}}}{k_{2}!} .

Sei X_{i} (i = 1, 2) die Zahl der Kugeln, die in der Urne i liegen; bezüglich μ sind X_{1}, X_{2} also unabhängige Poissonverteilte Zufallsvariablen mit Parameter λ. Zeige, daß μ eine invariante Verteilung für die durch p(·, ·) beschriebene Dynamik ist.

c) Was kann man sagen, wenn die Gesamtzahl N aller Kugeln bekannt ist ?

6. ( Hoeffdingungleichung ). Seien X_{1}, X_{2}, … i.i.d. Zufallsvariablen auf (Ω, A, P) mit E[X_{i}] = m. Es gelte

A ≤ X_{i} ≤ B ∀ ω ∈ Ω, 1 ≤ i ≤ n .

mit endlichen Konstanten A, B ∈ ℝ. Für t ∈ ℝ sei P_{t} die bzgl. P absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Dichte

ρ_{t}(ω) = e^{tX_{1}}(ω) /E[e^{tX_{1}}] . Zeige:

a) Die logarithmische momentenerzeugende Funktion Λ(t) der X_{i} ist zweimal differenzierbar mit

Λ′(t) = E_{P_{t}}[X_{1}]  ( Erwartungswert von X_{1} bzgl. P_{t} ), und
Λ′′(t) = var_{P_{t}}[X_{1}] ( Varianz von X_{1} bzgl. P_{t} ).

b) Für alle t ∈ ℝ gilt

Λ′′(t) ≤ (\frac{B − A}{2})^{2} und Λ(t) ≤ mt + \frac{(B − A)^{2}}{8} t^{2} .

c) Für die großen Abweichungen vom Gesetz der großen Zahlen ergibt sich folgende obere Schranke (Hoeffding 1963):

P [\frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} X_{i} ≥ m + ε] ≤ e^{− \frac{2nε^{2}}{(B−A)^{2}}} für alle n ∈ ℕ und ε > 0.