Angewandte Stochastik Blatt 9

1. Im Abwasserbereich eines Chemiewerkes werden n Fische gehalten. Aus deren Überlebenswahrscheinlichkeit θ kann auf den Verschmutzungsgrad des Wassers geschlossen werden. Wie groß muß n sein, damit man θ aus der Anzahl der toten Fische mit 95%iger Sicherheit bis auf eine Abweichung von ± 0.05 erschließen kann ? Verwende a) die Čebyšev-Ungleichung, b) die exponentielle Ungleichung, c) die Normalapproximation.

2. ( Konfidenzintervall ) Im Jahr 1879 machte der amerikanische Physiker (un Nobel-Preisträger von 1907) Albert Abraham Michelson fünf Messreihen zu je 20 Messungen zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit; die Ergebnisse findest du unter

http://lib.stat.cmu.edu/DASL/Datafiles/Michelson.html

Nimm an, dass die Messergebnisse normalverteilt sind mit unbekanntem m und v, und bestimme für die ersten zwei Messreihen einzeln sowie für die ersten beiden Messreihen zusammen ein Konfidenzintervall für die Lichtgeschwindigkeit zum Irrtumsniveau 0.02.

3. Betrachte die Messdaten von Michelson in Aufgabe 2. Welche Konfidenzintervalle für die Lichtgeschwindigkeit kannst du für die ersten zwei Messreihen einzeln sowie für beide Messreihen zusammen angeben, wenn auf eine Verteilungsannahme verzichtet werden soll ? Lege das gleiche Irrtumsniveau α = 0.02 wie in Aufgabe 2 zugrunde und vergleiche die Ergebnisse.

4. ( Suffizienz und Vollständigkeit ) Sei (𝔛, F, P_{ϑ} : ϑ ∈ Θ) ein statistisches Modell und T : 𝔛 → Σ eine Statistik mit abzählbarem Wertebereich Σ. T heißt suffizient, wenn nicht von ϑ abhängende Wahrscheinlichkeitsmaße Q_{s}, s ∈ Σ existieren mit P_{ϑ}[ · | T = s] = Q_{s}, wenn immer P_{ϑ}[T = s] > 0. T heißt vollständig, wenn g = 0 die einzige Funktion g : Σ → ℝ ist mit 𝔼_{ϑ}[g ∘ T] = 0 für alle ϑ ∈ Θ. Sei τ eine reelle Kenngröße. Zeige:

a) Rao-Blackwell. Ist T suffizient, so lässt sich jeder erwartungstreue Schätzer S für τ wie folgt verbessern: Ist g_{S}(s) := 𝔼_{Q_{s}}[S] für s ∈ Σ, so ist g_{S} ∘ T erwartungstreu und Var_{ϑ}(g_{S} ∘ T) ≤ Var_{ϑ}(S) für alle ϑ ∈ Θ. b) Lehmann-Scheffé. Ist T suffizient und vollständig und ist S irgendein

erwartungstreuer Schätzer für τ, so ist g_{S} ∘ T sogar ein bester Schätzer für τ (Argumentiere indirekt).