Angewandte Stochastik Blatt 8

1. ( Studentsche t–Verteilung ) Seien Z_{0}, Z_{1}, …, Z_{n} unabhängige N(0, 1)-verteilte Zufallsvariablen. Zeige, daß die Zufallsvariable

Z_{0} /\sqrt{\frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} Z_{i}^{2}}

die t–Verteilung mit n Freiheitsgraden besitzt.

2. ( Asymptotik der Varianz von erwartungstreuen Schätzern )

a) Gegeben sei ein reguläres statistisches Modell mit Likelihoodfunktion

f(x | θ), x ∈ 𝔛 ⊂ ℝ^{k}, θ ∈ Θ ⊂ ℝ,

und Fisher-Information I. Zeige: Für jeden erwartungstreuen Schätzer T_{n} für θ basierend auf n unabhängigen Stichproben gilt

Var_{θ}(T_{n}) ≥ \frac{1}{nI(θ)} für alle θ ∈ Θ.

b) Ein Computer erzeuge n Zufallszahlen aus dem Intervall [0, θ]. Zeige,

daß

T_{n}(x_{1}, …, x_{n}) := max(x_{1}, …, x_{n})\frac{n + 1}{n}

ein erwartungstreuer Schätzer für θ ist mit

Var_{θ}(T_{n}) = \frac{θ^{2}}{n(n + 2)}.

Wie verträgt sich dies mit dem Resultat in a) ?

3. ( Rao-Blackwellisierung ). Seien X_{1}, ⋯, X_{n} unabhängige Stichproben von einer Poissonverteilten Zufallsgröße mit Parameter λ > 0. Dann ist T := I_{{X_{1}=0}} ein erwartungstreuer Schätzer für

g(λ) := e^{−λ} = π_{λ}(0) .

Konstruiere einen besseren Schätzer durch Rao-Blackwellisierung.

4. ( Existenz erwartungstreuer Schätzer ). Gegeben sei das bedingte Poisson-Modell (ℕ, 𝔓(ℕ), P_{θ} : θ > 0) mit

P_{θ}(\{n\}) = π_{λ}(\{n\} | ℕ) = \frac{θ^{n}}{n!(e^{θ} − 1)}, n ∈ ℕ.

Zeige: Der einzige erwartungstreue Schätzer für g(θ) = 1−e^{−θ} ist der sinnlose Schätzer T (n) = 1 + (−1)^{n}, n ∈ ℕ.

5. ( Quadratischer Fehler ). Die Zufallsvariable Y sei exponentialverteilt mit Parameter 1/θ, θ > 0. Zeige: Y ist erwartungstreuer Schätzer für θ mit minimaler Varianz. Für welches a wird der quadratische Fehler 𝔼[(aY − θ)^{2}] minimiert ?