Angewandte Stochastik Blatt 7

1. ( Gemeinsame Verteilungsdichte )

a) Seien X, Y, Z unabhängige Zufallsvariablen mit Gleichverteilung auf [0, 1]. Finde die gemeinsame Verteilungsdichte der Zufallsvariablen XY und Z^{2} und zeige, dass ℙ[XY < Z^{2}] = \frac{5}{9}.

b) Seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen, exponentialverteilt mit Parameter 1 (siehe Blatt 4). Finde die gemeinsame Verteilungsdichte von U = X + Y und V = X/(X + Y) und zeige, dass V auf [0, 1] gleichverteilt ist.

2. ( Zweistichproben-Problem mit bekannter Varianz bzw. mit bekannten Erwartungswerten )

a) Seien X_{1}, …, X_{n}, Y_{1}, …, Y_{n} unabhängige Zufallsvariablen. Jedes X_{i} habe die Verteilung N(m, σ^{2}) und jedes Y_{j} die Verteilung N(m̃, σ^{2}); Dabei seien die Erwartungswerte m, m̃ unbekannt, aber σ^{2} bekannt. Konstruiere zu einem vorgegebenen Irrtumsniveau α einen Konfidenzkreis für (m, m̃).

b) Mit derselben Voraussetzung wie in Teil a) seien die X_{i} nun N(m, σ^{2}) verteilt mit bekanntem m, und die Y_{j} seien N(m̃, σ̃^{2}) verteilt mit bekanntem m̃. Die Varianzen σ^{2} und σ̃^{2} seien unbekannt. Bestimme ein Konfidenzintervall für σ^{2}/σ̃^{2} zum Irrtumsniveau α.

3. ( Beste lineare Vorhersage ) Die gemeinsame Verteilung der Zufallsvariablen X_{1}, …, X_{n} sei eine n-dimensionale Normalverteilung. Zeige:

a) X_{1}, …, X_{n} sind genau dann linear unabhängig, wenn sie paarweise unkorreliert sind.

b) Es gibt Konstanten a, a_{1}, …, a_{n−1} ∈ ℝ, so dass für X̂_{n} := a+∑_{i=1}^{n−1} a_{i}X_{i} gilt: X_{n} − X̂_{n} ist unabhängig von X_{1}, …, X_{n−1}, und 𝔼[X̂_{n} − X_{n}] = 0. (Hinweis: Minimiere die quadratische Abweichung 𝔼[(X̂_{n} − X_{n})^{2}] und verwende a).)