Angewandte Stochastik Blatt 5

1. Beim Sommerfest des Kaninchenzüchtervereins sollen K Kaninchen verlost werden. Dazu werden N ≥ K Lose gedruckt, davon K Gewinne, der Rest Nieten. Der kleine Fritz bringt - zum Entsetzen seiner Mutter - x Kaninchen nach Hause, 1 ≤ x ≤ K. Wieviele Lose hat er wohl gekauft ? Gib eine Schätzung mittels der Maximum-Likelihood-Methode.

2. ( Simulation von Zufallsvariablen ). Sei F : ℝ → [0, 1] die Verteilungsfunktion einer reellwertigen Zufallsvariable Xauf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P).

a) Zeige : F ist monoton wachsend und rechtsstetig mit

lim_{x→−∞} F (x) = 0 und  lim_{x→∞} F (x) = 1 .

b) Sei λ_{(0,1)} die Gleichverteilung auf (0, 1). Wie sieht der Graph von F aus, falls die Verteilung von X gleich \frac{1}{2}λ_{(0,1)} + \frac{1}{2}δ_{2} ist ?

c) Für u ∈ (0, 1) sei

X̃(u) := inf {x ∈ ℝ| F (x) ≥ u} = sup {x ∈ ℝ| F (x) < u}

die ,,linksstetige verallgemeinerte Inverse” von F. Skizziere X̃ für das Beispiel aus b). Zeige, daß X̃ eine Zufallsvariable auf dem Wahrscheinlichkeitsraum

((0, 1), B((0, 1)), λ_{(0,1)})

ist, die dieselbe Verteilung wie X unter P hat. ( Ein Element ω ∈ (0, 1) repräsentiert z.B. eine vom Computer erzeugte ,,Zufallszahl”. Dies liefert eine Möglichkeit, die Zufallsvariable X auf dem Computer zu simulieren. Welche Probleme könnten dadurch entstehen, daß vom Computer erzeugte Zufallszahlen nie wirklich zufällig sind, sondern durch einen deterministischen Algorithmus generiert werden ? Für welche Arten von Verteilungsfunktion könnte es insbesondere Probleme geben ? )

3. ( Stetige Verteilungen )

a) Das Intervall [0, 2] werde in zwei Teile zerlegt, indem in [0, 1] zufällig (gemäß der Gleichverteilung) ein Punkt markiert wird. Sei X das Längenverhältnis l_{1}/l_{2} der kürzeren Teilstrecke l_{1} zur längeren Teilstrecke l_{2}. Berechne die Verteilungsdichte von X.

b) Sei X eine reelle Zufallsvariable mit Normalverteilung N(μ, σ^{2}) und seien a, b ∈ ℝ mit a ≠ 0. Zeige, dass die Zufallsvariable aX + b die Verteilung N(aμ + b, a^{2}σ^{2}) besitzt.

4. ( Sensitivität von Prognosewerten.) Sei M_{n} : ℝ^{n} → ℝ eine Statistik, welche n reellen Beobachtungswerten einen “Mittelwert” zuordnet. Wie stark M_{n} bei gegebenen Werten x_{1}, …, x_{n−1} ∈ ℝ von einer Einzelbeobachtung x ∈ ℝ abhängt, wird beschrieben durch die Sensitivitätsfunktion

S_{n}(x) = n(M_{n}(x_{1}, …, x_{n−1}, x) − M_{n−1}(x_{1}, …, x_{n−1})).

Bestimme und zeichne S_{n} in den Fällen, wenn M_{n} (a) der Stichprobenmittelwert, (b) der Stichprobenmedian, und (c) das α-getrimmte Mittel

(T_{⌊nα⌋+1:n} + ⋯ + T_{n−⌊nα⌋:n})/(n − 2⌊nα⌋)

zu einem Trimm-Niveau 0 ≤ α < \frac{1}{2} ist (⌊β⌋ ist die größte ganze Zahl kleiner gleich β). Hierbei bezeichnet T_{k:n}(x_{1}, …, x_{n}) die k-te Ordnungsstatistik von x_{1}, … x_{n}.

5. ( Gamma- und Beta-Verteilung ) Gegeben sei das Produktmodell auf (0, 1)^{n} mit der Gleichverteilung P = λ^{n}. Sei T_{k:n} die k–te Ordnungsstatistik. Zeige: Ist (s_{n})_{n≥1} eine Folge in (0, ∞) mit n/s_{n} → α > 0, dann gilt

Γ_{α,r}((0, t]) = lim_{n→∞} P (s_{n}T_{r:n} ≤ t) für alle r ∈ ℕ und t > 0.

Was bedeutet diese Aussage im Hinblick auf zufällige Zeitpunkte auf der Zeitachse ?

6. Die Anzahl der Bücher, die während eines Jahres aus einer Bibliothek verschwinden, sei Poisson-verteilt. Bei der jährlichen Revision entdeckt man das Fehlen eines Buches mit Wahrscheinlichkeit p; das Buch wird dann ersetzt.

a) Berechne die Anzahl der fehlenden Bücher i) nach der Revision ii) vor der nächsten Revision.

b) Betrachte die Situation als Markovkette: finde die zugehörige stochastische Matrix P = (p_{ij}) und mithilfe von a) eine stationäre Verteilung. Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung π heißt stationäre Verteilung, falls

∑_{i} π_{i}p_{ij} = π_{j} für alle j.