Angewandte Stochastik Blatt 4

1. ( Ausreißer und Maximum Likelihood Schätzung ) Um gelegentliche Ausreißer bei Meßdaten zu berücksichtigen, nimmt man an, daß die Meßwerte x_{1}, …, x_{n} mit Wahrscheinlichkeit 9/10 gemäß N(μ, σ^{2}) verteilt sind, aber mit Wahrscheinlichkeit 1/10 Ausreißer mit Verteilung N(μ, 1) sind.

a) Berechne die Likelihood L(μ, σ^{2}; x_{1}, …, x_{n}) (μ ∈ ℝ, σ^{2} > 0) im Produktmodell.

b) Zeige, daß es keinen MLE für θ := (μ, σ^{2}) gibt, und daß

sup_{σ} L(μ̂, σ^{2}; x_{1}, …, x_{n}) = sup_{μ,σ} L(μ, σ^{2}; x_{1}, …, x_{n})

genau dann gilt, wenn μ̂ einen der Werte x_{1}, …, x_{n} annimmt.

2. ( Suffiziente Statistiken ) Gegeben sei ein diskretes statistisches Modell (𝔛, B, P_{θ} : θ ∈ Θ). Zeige, daß eine Statistik T : 𝔛 → ℝ^{k} genau dann suffizient für den Parameter θ ist, wenn für die Dichten gilt:

f(x | θ) = g(θ, T (x))h(x),

mit geeigneten Funktionen g : Θ × ℝ^{k} → [0, ∞), h : 𝔛 → [0, ∞).

3. ( Wright-Fisher-Modell ) Ein Gen besitze die beiden Allele A und a. In einer Population von N Lebewesen mit diploidem Chromosomensatz kommt das Gen 2N mal vor. Jede Generation bestehe aus N Individuen und entstehe aus der vorhergehenden durch Zufallspaarung: Jedes Gen der Nachkommengeneration “sucht sich” unabhängig von allen anderen ein Eltern-Gen und nimmt dessen Ausprägung an. Sei X_{n} die Anzahl der A−Gene in der n−ten Generation. X_{n} ist offenbar eine Markov-Kette auf E = {0, …, 2N}. Bestimme die Übergangsmatrix und berechne für beliebiges x ∈ E

h_{2N} := P [X_{n} = 2N | X_{0} = x] ,

für alle hinreichend großen n.

4. ( Maximum-Likelihood-Schätzung von Ausfallszeiten ). Wir betrachten die Überprüfung von n Speicherchips aus einer neuen Serienproduktion. Es werden sämtliche n Speicherchips simultan in Betrieb genommen, und dann die sukzessive eintretenden Ausfallszeiten registriert. Es wird dabei angenommen, daß die Lebensdauern der Speicherchips unabhängig und exponentialverteilt mit Parameter θ ∈ (0, ∞) sind, d.h. die Lebensdauern sind durch die Dichte

f(x) = θe^{−θx} · 1_{(0,∞)}(x), x ∈ ℝ,

gegeben. Sei X_{i} die Zeit des i-ten Ausfalls, es gilt also

X_{1} ≤ … ≤ X_{n}.

Zur Schätzung der erwarteten Lebensdauer werden nur die Lebensdauern der k < n zuerst ausgefallenen Chips registriert. Der Stichprobenraum ist daher

𝔛 = {x = (x_{1}, …, x_{k}) | x_{1} ≤ x_{2} ≤ … ≤ x_{k}} ⊂ (0, ∞)^{k}.

Zeige, dass die Dichte von (X_{1}, …, X_{k}) gegeben ist durch

f_{θ}(x_{1}, …, x_{k}) = \frac{n!}{(n − k)!}θ^{k}e^{−θ(∑_{i=1}^{k−1} x_{i}+(n−k+1)x_{k})} ,

und bestimme den Maximum-Likelihood-Schätzer für θ.

5. ( Das Ruinproblem ) Ein Mann hat sich k Euro für einen Jaguar gespart, der N Euro kostet (0 < k < N). Um den fehlenden Betrag zu gewinnen, läßt er sich auf folgendes Spiel ein: Er wirft wiederholt eine faire Münze. Erscheint Kopf, dann erhält er einen Euro , kommt hingegen Zahl, dann zahlt er einen Euro an die Bank. Er spielt solange bis eine der folgenden zwei Möglichkeiten eintritt: Entweder er verliert das ganze Geld, oder er gewinnt genug, um sich den Jaguar leisten zu können. Sei A das Ereignis, daß der Mann alles verliert, und p_{k} = P_{k}[A] die Wahrscheinlichkeit dafür zum Startwert k. Zeige:

p_{k} = \frac{1}{2}(p_{k+1} + p_{k−1}), 0 < k < N,

und löse diese Differenzengleichung zu den Randbedingungen p_{0} = 1, p_{N} = 0.