Angewandte Stochastik Blatt 3

1. ( “Runs” bei Münzwürfen ). Eine Münze wird wiederholt geworfen. Die einzelnen Würfe seien unabhängig mit Wahrscheinlichkeit p für Kopf. Sei E das Ereignis, daß eher r mal hintereinander Kopf als s mal hintereinander Zahl fällt. Sei A der Ausgang des ersten Wurfs. Zeige:

P [ E | A = Kopf ] = p^{r−1} + (1 − p^{r−1}) P [ E | A = Zahl ] .

Finde eine ähnliche Formel für P [ E | A = Zahl ], und berechne P [E].

2. ( Parameterschätzung im Poissonmodell ).

a) Definiere den Erwartungswert und die Varianz der Poissonverteilung π_{λ} mit Parameter λ > 0. Zeige, daß beide den Wert λ haben.

b) Die Anzahl der Zerfälle in einem radioaktiven Material werde durch eine Poissonverteilung modelliert. Berechne den Maximum-Likelihood-Schätzer des Parameters λ basierend auf der beobachteten Zerfallszahl.

c) Zeige:

π_{λ}({k | |k − λ| ≥ c}) ≤ λ/c^{2} .

Leite ein 95 prozentiges Konfidenzintervall für den Maximum-Likelihood-Schätzer her.

3. Ein Pflanzen-Gen besitze die beiden Allele A und a. Ein klassisches Verfahren zur Züchtung reinrassiger (d.h. homozygoter) Pflanzen vom Genotyp AA bzw. aa ist die Selbstbefruchtung. Begründe, daß die Übergangswahrscheinlichkeiten

p(y|x) := P [Genotyp y inGeneration n + 1 | Genotyp x in Generation n]

für den Übergang von einer Generation zur nächsten durch p(aa|Aa) = p(AA|Aa) = 1/4, p(Aa|Aa) = 1/2, und p(aa|aa) = p(AA|AA) = 1 gegeben sind. Berechne für beliebiges n die n-Schritt–Übergangswahrscheinlichkeit

p_{n}(Aa|Aa) = P [Aa nach Generation n | Aa am Anfang ] .

4. ( Lineare Regression ). Die Länge eines Metallstabs hänge linear von der Temperatur ab:

l = α + β · T (α, β ∈ ℝ) .

Gegeben sind Meßwerte x_{1}, x_{2}, …, x_{n} der Längen bei Temperaturen T_{1}, …, T_{n}. Zeige unter der Annahme, daß die Meßwerte unabhängig und normalverteilt sind mit der wahren Länge als Mittelwert und fester Varianz σ^{2}, daß der Maximum Likelihood Schätzer für den unbekannten zweidimensionalen Parameter (α, β) gegeben ist durch

α̂(x_{1}, …, x_{n}) = x̄ − \frac{T̄}{V (T)} C(T, X)
β̂(x_{1}, …, x_{n}) = \frac{C(T, X)}{V (T)}  .

Hierbei bezeichnet x̄ den empirischen Mittelwert von x_{1}, …, x_{n}, V (T) die empirische Varianz der T_{i}, und C(T, X) die empirische Kovarianz der T_{i} und x_{i}.

5. Aus einer Population von N Tieren wurden a gefangen, markiert, und wieder freigelassen. Zeige, daß die Wahrscheinlichkeit p(n), daß anschliessend n Tiere gefangen werden müssen, um m markierte darunter zu haben, durch

p(n) = \frac{a}{N} \binom{a − 1}{m − 1}\binom{N − a}{n − m} /\binom{N − 1}{n − 1} (m ≤ n ≤ N − a + m)

gegeben ist. Zeige dann, daß

\frac{a}{N} \binom{a − 1}{m − 1}\frac{(N − a)!}{(N − 1)!} ∑_{n=m}^{N−a+m} \frac{(n − 1)!(N − n)!}{(n − m)!(N − a + m − n)!} = 1 ,

und, daß der Erwartungswert von n gleich \frac{N+1}{a+1}m ist.