Angewandte Stochastik Blatt 13

1. ( χ^{2}-Anpassungstest ) Ein Algorithmus zur Erzeugung von Pseudozufallsziffern soll getestet werden. Dazu lässt man ihn etwa n = 10000 Ziffern ∈ {0, …, 9} erzeugen. Ein Versuch ergab die folgenden Häufigkeiten:

Ziffer  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 Häufigkeit 1007 987 928 986 1010 1029 987 1006 1034 1026

Führe zu einem geeigneten Niveau einen χ^{2}-Anpassungstest auf Gleichverteilung durch.

2. ( Tendenz zur Mitte ) Bei der Notengebung wird den Lehrern manchmal vorgeworfen, sie neigten dazu, Extremurteile zu vermeiden. In einem Kurs erzielten 17 Schüler folgende Durchschnittsnoten:

1.58 2.84 3.52 4.16 5.36 2.01 3.03 3.56 4.19 2.35 3.16 3.75 4.60 2.64 3.40 3.99 4.75

Nimm der Einfachheit halber an, dass sich die Durchschnittsnoten aus so vielen Einzelnoten ergeben haben, dass sie als kontinuierlich verteilt betrachtet werden können. Prüfe zum Niveau α = 0.1 mit dem χ^{2}-Anpassungstest die Nullhypothese, dass obige daten N(3.5, 1)-verteilt sind. Teile hierzu die relativen Häufigkeiten in sechs Gruppen

(−∞, 1.5], (1.5, 2.5], (2.5, 3.5], (3.5, 4.5], (4.5, 5.5], (5.5, ∞)

ein.

3. Die Zufallsvariablen X_{1}, …, X_{n} seien unabhängig und Poisson-verteilt mit unbekannten Parametern λ_{1}, …, λ_{n}. Finde die verallgemeinerte Likelihood-Quotienten-Statistik zum Prüfen der Hypothese H_{0} : λ_{1} = … = λ_{n} gegen die Alternative beliebiger λ und zeige, dass sie sich durch Z = ∑_{i=1}^{n}(X_{i} − \overline{X})^{2}/\overline{X}, wobei \overline{X} = n^{−1} ∑_{i=1}^{n} X_{i}, approximieren lässt. Akzeptierst du H_{0}, wenn du im Fall n = 7 den Wert 26.9 für die Test-Statistik beobachtest ?

4. In einem statistischen Experiment werden n Beobachtungen mit Werten in E = {0, …, k} gemacht. Es soll die Verteilung der relativen Häufigkeiten der Daten auf E untersucht werden. Die Nullhypothese sei gegeben durch die Binomialverteilungen

α(i) = \binom{k}{i} ϑ^{i}(1 − ϑ)^{k−i}, 0 ≤ i ≤ k, ϑ ∈ (0, 1).

Die Alternative bilden alle anderen Verteilungen β = β(i)_{0≤i≤k} ∈ (0, 1)^{k+1}. Finde den geeigneten Test für dieses Problem.