Angewandte Stochastik Blatt 12

1. ( Einseitige Tests ) Eine Lehrmittelfirma liefert physikalische Widerstände und behauptet, deren Widerstände seien normalverteilt mit Mittelwert 50 und Standardabweichung 5 (jeweils in Ohm). Gib einen Test für die beiden Testprobleme

a) H_{0} : m ≤ 55 gegen H_{1} : m > 55

b) H_{0} : v ≤ 25 gegen H_{1} : v > 25

zum Niveau α = 0.05 an (bei Vorliegen von 10 Messungen unter Normalverteilungsannahme; m und v beide unbekannt). Wie lautet die Entscheidung bei folgenden Messergebnissen für 10 Widerstände:

45.9 68.5 56.8 60.0 57.7 63.0 48.2 59.0 55.2 50.6

2. ( Test der Funktionsdauer von Geräten ) Betrachte das n-fache Produkt des Modells ([0, ∞), B_{[0,∞)}, Q_{ϑ} : ϑ > 0); dabei sei Q_{ϑ} die Weibull-Verteilung mit bekannter Potenz β > 0 und unbekanntem Skalenparameter ϑ > 0, d.h. Q_{ϑ} habe die Dichtefunktion

ϱ_{ϑ}(x) = ϑβx^{β−1} exp(−ϑx^{β}).

(Dieses Modell beschreibt die zufällige Funktionsdauer von technischen Produkten).

a) Zeige: Unter Q_{ϑ}^{⊗n} hat T = ϑ ∑_{i=1}^{n} X_{i}^{β} die Gamma-Verteilung Γ_{1,n}.

b) Bestimme einen besten Niveau-α Test φ für die Nullhypothese H_{0} : ϑ ≤ ϑ_{0} (“mittlere Lebensdauer überschreitet Minimalwert”) gegen H_{1} : ϑ > ϑ_{0}.

c) Sei ϑ_{0} = 1 und α = 0.01. Wie groß muss n sein, damit G_{φ}(2) ≥ 0.95 ist ? Verwende den zentralen Grenzwertsatz.

3. ( Zweiseitiger Chiquadrat-Test ) Betrachte im zweiparametrigen Gaußschen Produktmodell das zweiseitige Testproblem H_{0} : v = v_{0} gegen H_{1} : v ≠ v_{0} mit folgender Entscheidungsvorschrift: H_{0} werde akzeptiert, falls c_{1} ≤ \frac{n−1}{v_{0}}V^{∗} ≤ c_{2}. a) Berechne die Gütefunktion dieses Tests und zeige: Es gilt

\frac{∂G}{∂v}(m, v_{0}) ⪋ 0 je nachdem, ob (\frac{c_{2}}{c_{1}} )^{(n−1)/2} ⪋ e^{(c_{2}−c_{1})/2}.

b) Naiv würde man c_{1}, c_{2} so wählen, dass

P_{m,v_{0}}(\frac{n − 1}{v_{0}}V^{∗} < c_{1}) = P_{m,v_{0}}(\frac{n − 1}{v_{0}}V^{∗} > c_{2}) = \frac{α}{2}.

Zeige im Fall α = 0.02, n = 3, dass dieser Test verfälscht ist, und skizziere G.

c) Wie kann man einen unverfälschten Test der obigen Bauart konstruieren ?

d) Welche Gestalt hat der zugehörige Likelihood-Quotienten-Test ?

4. ( Zwistichproben-Problem ) Seien X_{1}, …, X_{k}, Y_{1}, …, Y_{l} unabhängige Zufallsvariablen mit Verteilung N(m, v) bzw. N(m′, v); m, m′ und v seien unbekannt. Zeige: Jeder Likelihood-Quotienten-Test für das Testproblem H_{0} : m ≤ m′ gegen H_{1} : m > m′ hat einen Ablehnungsbereich der Form {T > c} mit der Zweistichproben-t-Statistik

T = \sqrt{\frac{kl}{k + l}} \frac{\overline{X} − \overline{Y}}{\sqrt{V^{∗}}} .

Dabei ist \overline{X} = \frac{1}{k} ∑_{i=1}^{k} X_{i}, \overline{Y} = \frac{1}{l} ∑_{j=1}^{l} Y_{j}, V^{∗} = \frac{1}{k+l−2}(∑_{i=1}^{k}(X_{i} − \overline{X})^{2} + ∑_{j=1}^{l}(Y_{j} − \overline{Y})^{2}).

5. ( Verfälschte Tests ) Zeige, dass im zweiparametrigen Gaußschen Produktmodell kein gleichmäßig bester Test für das einseitige Testproblem H_{0} : m ≤ 0 gegen H_{1} : m > 0 existiert. Betrachte dazu die für eine feste Varianz besten Gauß-Tests.