Angewandte Stochastik Blatt 11

1. ( Importance Sampling )

a) Du möchtest das Integral I = ∫_{0}^{∞} k(x)dx näherungsweise berechnen, wobei k(x) = sin(x)(1 + x)^{−2}e^{− \frac{x}{5}} . Dazu verwendest du Importance Sampling mit exponentialverteilten Zufallsvariablen zum Parameter λ. Zeige, dass die Varianz des entsprechenden Schätzers für gewisse λ unendlich und für andere endlich ist. (Daher konvergiert die Sample-Standarabweichung für gewisse λ nicht, auch wenn die Sample-Mittel-werte nach I konvergieren. Das macht es schwieriger gute Konfidenzintervalle zu finden).

b) Betrachte dasselbe Verfahren für k(x) = sin(x)(1 + x)^{−2}. Zeige, dass nun die Varianz für alle λ unendlich ist. Finde ein gutes Monte-Carlo Verfahren um das Integral zu schätzen.

c) Sei das Integral I nun bedingt konvergent, aber nicht absolut konvergent (z.B. k(x) = \frac{sin(x)}{x}). Zeige, dass der Sample-Mittelwert des Importance-Sampling Schätzers nicht konvergiert, gleich welche Verteilung man für das Sampling wählt. (Hinweis: Zeige, dass die Terme des Schätzers keine endlichen ersten Momente haben. Was sagt dazu das starke Gesetz der großen Zahlen ?)

2. In einer Sendung von 10 Geräten befindet sich eine unbekannte Anzahl fehlerhafter Geräte, wobei der Fehler nur durch eine sehr kostspielige Qualitätskontrolle festgestellt werden kann. Ein Abnehmer, der nur an einer völlig einwandfreien Lieferung interessiert ist, führt folgende Eingangskontrolle durch: Er prüft 5 Geräte. Sind diese alle einwandfrei, so nimmt er die Sendung an, sonst läßt er sie zurückgeben. Beschreibe das Vorgehen testtheoretisch und ermittle das effektive Nieveau des Testverfahrens. Wieviele Geräte müssen überprüft werden, wenn die Wahrscheinlichkeit für eine irrtümliche Annahme der Sendung kleiner gleich 0.1 sein soll ?

3. Anhand von n Ziehungen des Samstagslottos “6 aus 49” soll getestet werden, ob die “13” eine Unglückszahl ist, weil sie seltener gezogen wird als zu erwarten wäre. Formuliere das Testproblem und gib (mit Hilfe der Normalapproximation der Binomialverteilung) einen besten Test zum approximativen Niveau α = 0.1 an. Wie lautet deine Entscheidung für die 2539 Ziehungen vom 9.10.1955 bis zum 5.6.2004, bei denen die “13” nur 252 Mal gezogen wurde und mit Abstand am unteren Ende der Häufigkeitsskala stand ?

4. ( Asymptotische Effizienz ) Gegeben seien Samples von unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen (X_{1}, …, X_{n}) mit Likelihoodfunktion

f(x | θ), x ∈ 𝔛, θ ∈ Θ ⊂ ℝ.

Für eine Folge von Schätzern T_{n}^{(0)}(x_{1}, …, x_{n}), die für θ konsistent sind, betrachte die Ein-Schritt-Newton Schätzer

T_{n}^{(1)} = T_{n}^{(0)} − \frac{\frac{∂l_{n}}{∂θ} (T_{n}^{(0)})}{\frac{∂^{2}l_{n}}{∂θ^{2}} (T_{n}^{(0)})}.

Zeige, dass unter den Regularitätsvoraussetzungen aus der Vorlesung diese Ein-Schritt-Newton Schätzer asymptotisch normal und effizient sind, das heißt, wir haben in Verteilung

\sqrt{n}(T_{n}^{(1)} − θ) → N (0, \frac{1}{I(θ)}) .

Folgere, dass auch die k-Schritt-Newton Schätzer asymptotisch normal und effizient sind.

5. ( Zusammenhang von Konfidenzbereichen und Tests ) Sei (𝔛, F, P_{ϑ} : ϑ ∈ Θ) ein statistisches Modell. Zeige:

a) Ist C : 𝔛 → 𝔓(Θ) ein Konfidenzbereich zum Irrtumsniveau α und ϑ_{0} ∈ Θ, so ist {ϑ_{0} ∉ C(·)} der Ablehnungsbereich von H_{0} : ϑ = ϑ_{0} gegen H_{1} : ϑ ≠ ϑ_{0} zum Niveau α.

b) Ist umgekehrt für jedes ϑ_{0} ∈ Θ ein nichtrandomisierter Test für H_{0} : ϑ = ϑ_{0} gegen H_{1} : ϑ ≠ ϑ_{0} zum Niveau α gegeben, so lässt sich daraus ein Konfidenzbereich zum Irrtumsniveau α gewinnen.