Angewandte Stochastik WS 05/06 Serie 1

1. Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien A, B ∈ A.

(a) Es gelte P [A] = \frac{3}{4} und P [B] = \frac{1}{3}. Zeige \frac{1}{12} ≤ P [A ∩ B] ≤ \frac{1}{3}, und demonstriere anhand von Beispielen, dass beide Extremfälle eintreten können.

(b) Ist A ∪ B = Ω, dann gilt

P [A ∩ B] = P [A]P [B] − P [A^{c}]P [B^{c}].

2. Mit einem fairen Würfel wird n−mal gewürfelt.

A_{k} sei das Ereignis “beim k−ten Mal wird eine 2 gewürfelt”. B_{k} sei das Ereignis “beim k−ten Mal wird eine 5 gewürfelt”.

(a) Definiere ein geeignetes Laplacemodell und berechne P [A_{k}] und P [B_{k}].

(b) Drücke folgende Ereignisse mithilfe der Ereignisse A_{k}, B_{k}, 1 ≤ k ≤ n, aus und berechne ihre Wahrscheinlichkeiten:

(i) “5 wird nie gewürfelt”
(ii) “mindestens einmal wird 2 gewürfelt”
(iii) “mindestens einmal wird 5 und mindestens zweimal

wird 2 gewürfelt”.

(c) Wieso ist es bei dreimaligem Würfeln wahrscheinlicher die Augensumme 10 zu erhalten als die Augensumme 9.

3. In einer Stadt mit n + 1 Einwohnern erzählt eine Person einer zweiten ein Gerücht, diese ihrerseits erzählt es einer dritten, usw. Bei jedem Schritt wird der “Empfänger” zufällig aus den n möglichen ausgewählt. Das Gerücht wird r-mal weitererzählt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es

(a) nicht zum Urheber zurückkommt,

(b) keiner Person zweimal erzählt wird.

(c) Setze im Ergebnis von (a) insbesondere r = n + 1 und berechne den Limes für n → ∞.

4. Die hypergeometrische Verteilung mit Parametern N, K, n ist durch die Gewichte

p(k) = \binom{K}{k}\binom{N − K}{n − k}/ \binom{N}{n}, k = 1, …, n,

gegeben. Zeige: Für N → ∞ und K → ∞ mit r = \frac{K}{N} konstant, konvergiert die hypergeometrische Verteilung gegen die Binomialverteilung mit Parametern n, r und den Gewichten

q(k) = \binom{n}{k}r^{k}(1 − r)^{n−k}.