Approximationen der Binomialverteilung

Die Binomialverteilung (Subscript[P, n,p]) mit Parametern n und p beschreibt die Verteilung der Anzahl derjenigen unter n unabhängigen Ereignissen mit Wahrscheinlichkeit p, die in einem Zufallsexperiment eintreten. Für n→∞ nähert sich die Binomialverteilung je nach Skalierung der Wahrscheinlichkeit p(n) verschiedenen Grenzverteilungen an. Diese Grenzverteilungen können verwendet werden, um Wahrscheinlichkeiten für binomialverteilte Zufallsvariablen für große n näherungsweise zu berechnen.

Seltene Ereignisse: Die Poissonapproximation

Konvergiert n→∞, und konvergiert gleichzeitig der Erwartungswert n·p(n) gegen eine positive reelle Zahl λ, dann nähern sich die Gewichte der Binomialverteilung denen einer Poissonverteilung mit Parameter λ an:

({{({{(({{n}, {k}}))p(((n))^k)(((1-p(n)))^(n-k))⟶}})((λ^k)/(k!))(e^(-λ))        ( k=0,1,2,... ).}})

Da in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit p(n) gegen Null konvergiert, beschreibt die Poissonapproximation die Häufigkeiten seltener Ereignisse.

Die folgende Graphik zeigt die Massenfunktion einer Bin(n,p)-Verteilung, wobei der Wert von n sowie der Erwartungswert λ=np vorgegeben werden können. Für n→∞ bei festem Erwartungswert λ nähert sich die Verteilung einem Grenzwert an - der Poissonverteilung mit Parameter λ.

Manipulate[
ListPlot[Table[{k,PDF[BinomialDistribution[n,Min[1,lambda /n]],k]},{k,0,IntegerPart[4 lambda]}],Filling->Axis,PlotRange->All,PlotMarkers->{Automatic,Medium},Axes->{True,False}]
,{{n,10,"n"},3,300,1},{{lambda,5,"Erwartungswert: np=λ"},2,20}]

Häufige Ereignisse: Die Normalapproximation

Geht die Wahrscheinlichkeit p für n→∞ nicht gegen 0, sondern hat zum Beispiel einen festen Wert p∈(0,1), dann kann die Poissonapproximation nicht verwendet werden. Stattdessen kann man in diesem Fall den Grenzwertsatz von de Moivre/Laplace anwenden. Er besagt, daß die Fluktuationen einer Bin(n,p)-verteilten Zufallsvariable um den Erwartungswert n·p von der Ordnung (Sqrt[n]) sind, und die Verteilung der Fluktuationen sich für n→∞ einer Normalverteilung (Gaußsche Glockenkurve) annähert:

Satz (de Moivre, Laplace)

({{(Underscript[({{lim}}), n→∞]) (Subscript[P, n,p])[{0≤k≤n :  a≤((k-np)/(Sqrt[n]))≤b }]  =  (1/(Sqrt[2ℼp(1-p)]))(∫_a^b)exp(-((x^2)/(2p(1-p))))dx}})

Den Satz kann man elementar über die Stirlingsche Formel beweisen, siehe z.B. Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Er ergibt sich aber auch als Spezialfall des viel allgemeineren Zentralen Grenzwetsatzes, siehe Vorlesung Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie.

Die folgende Grafik zeigt, wie sich die Binomialverteilung nach entsprechender Reskalierung einer Normalverteilung annähert.

Manipulate[
sigma=Sqrt[n p (1-p)];
binomialstand=ListPlot[Table[{(k-n p)/sigma,sigma*PDF[BinomialDistribution[n,p],k]},{k,IntegerPart[n p-4 sigma],IntegerPart[n p+4sigma]}],Filling->Axis,PlotRange->All,PlotMarkers->{Automatic,Medium},Axes->{True,False}];
binomial=ListPlot[Table[{k,PDF[BinomialDistribution[n,p],k]},{k,IntegerPart[n p-4 sigma],IntegerPart[n p+4sigma]}],Filling->Axis,PlotRange->All,PlotMarkers->{Automatic,Medium},Axes->{True,False}];
normal=Plot[PDF[NormalDistribution[0,1],x],{x,-4,4}];
Show[{binomialstand,normal}]
,{n,3,2000,1},{p,0.03,0.97}]