Simulation von Random walks mit verschiedenen Inkrementverteilungen

nmax=10000;
(* maximale Schrittzahl *)

x=RandomChoice[{-1,1},nmax];
(* erzeugt nmax Inkremente eines klassischen Random Walks *)
z=RandomReal[NormalDistribution[0,1],nmax];
(* erzeugt nmax unabhängige Stichproben von N(0,1) *)
u=RandomReal[{0,1},nmax]; y=-Log[u]-1;
(* erzeugt nmax unabhängige Stichproben von der zentrierten, d.h. um -1 verschobenen, Exp(1)-Verteilung *)
α=3/2;x0=α-1;p=RandomReal[ParetoDistribution[x0,α],nmax];m=Mean[ParetoDistribution[x0,α]];q=p-m;
(* erzeugt nmax unabhängige zentrierte Stichproben von der Pareto((Subscript[x, 0]),α)-Verteilung mit Verteilungsfunktion F(x)=(SuperPlus[(1-(((x/(Subscript[x, 0])))^(-α)))])*)
(* Der Parameter (Subscript[x, 0]) ist dabei so gewählt,daß die Verteilung der zentrierten Stichproben oberhalb von(-1) liegt *)
α=1/2;x0=1;pfv=RandomReal[ParetoDistribution[x0,α],nmax];

Im Gegensatz zu den anderen Verteilungen fällt die Dichte f(x)=α (Subscript[x, 0]^α) (x^(-1-α))×(Subscript[I, [(Subscript[x, 0]),∞)])(x) der Pareto-Verteilung für x->∞ nur sehr langsam ab ("heavy tails"). Insbesondere hat die Verteilung für α≤2 unendliche Varianz. Die folgende Grafik zeigt die Dichten der (zentrierten) Inkrementverteilungen:

Plot[{PDF[NormalDistribution[0,1],x],PDF[ExponentialDistribution[1],x+1],PDF[ParetoDistribution[x0,α],x+m]},{x,-2,5}];

rwsimple=Accumulate[x];rwexp=Accumulate[y];rwnormal=Accumulate[z]; rwpareto=Accumulate[q];rwparetofv=Accumulate[pfv];
(* erzeugt Trajektorien der Random walks mit den verschiedenen Inkrementverteilungen *)

ListPlot[{rwnormal[[1;;3000]],rwpareto[[1;;3000]]}]

The first Pareto Random Walk converges to a stable process with exponent 3/2. This process is a martingale
(jumps compensated by drift).

Manipulate[ListPlot[{rwpareto[[1;;n]]}],{{n,50},1,nmax,1}]

The second Pareto Random Walk converges to a stable process with exponent 1/2. This process is a subordinator; the jumps are not compensated:

ListPlot[{rwparetofv[[1;;3000]]}]

Manipulate[ListPlot[{rwparetofv[[1;;n]]}],{{n,50},1,nmax,1}]