Stochastische Analysis I                     WS 2004/05

Andreas Eberle                              Mo 10-12, Do 14-16, Kl. HS

Themen:

•	Stochastische Integrale und Itô-Formel.
•	Anwendung auf Brownsche Bewegung: Rekurrenz und Transienz, stochastische Darstellungen von Lösungen partieller Differentialgleichungen, Feynman-Kac-Formel.
•	Brownsche Martingale: Girsanovtransformation, Darstellungssätze.
•	Stochastische Differentialgleichungen: Beispiele und Lösungsmethoden.
•	Diffusionsprozesse: Generatoren, invariante Verteilungen, Zeitumkehr, Konvergenz ins Gleichgewicht.
•	Grundlagen des Malliavinkalküls.

Beschreibung: 

Eine große Klasse stochastischer Prozesse in kontinuierlicher Zeit läßt sich über stochastische Differentialgleichungen bzgl. Brownscher Bewegungen beschreiben. Diese Prozesse treten aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes in natürlicher Weise auf, und dienen zur  Modellierung in diversen Anwendungsbereichen (Finanzmathematik, Filterprobleme, Wachstumsvorgänge, .....). 
Da typische Brownsche Pfade nirgends differenzierbar sind, ist die herkömmliche Differentialrechnung nicht anwendbar. Daher muß zunächst eine Integrationstheorie bzgl. Brownscher Pfade, und ein entsprechender stochastischer Differentialkalkül (Itô Kalkül) entwickelt werden. Mithilfe dieses Kalküls lassen sich dann Lösungen von stochastischen Differentialgleichungen, und insbesondere Markovprozesse mit stetigen Pfaden (Diffusionsprozesse), aus Brownschen Bewegungen konstruieren. Erste Konsequenzen sind stochastische Darstellungen von Lösungen parabolischer und elliptischer linearer partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung, analytische Berechungen von Erwartungswerten bzgl. Brownscher Bewegungen und anderer Diffusionsprozesse, und allgemeine Darstellungssätze für Martingale.
Anwendungen in der Finanzmathematik werden in den parallel stattfindenden Vorlesungen Statistik und Finanzmathematik und Stochastische Dynamik und Monte Carlo Simulation  betrachtet.

Literatur:

•	Durrett,  Stochastic calculus
•	Steele,  Stochastic calculus and  financial applications
•	Karatzas/Shreve, Brownian motion and stochastic calculus
•	Revuz/Yor,  Continuous martingales and Brownian motion
•	Hackenbroch/Thalmaier, Stochastische Analysis
•	Oksendal, Stochastic differential equations

Voraussetzungen:      Grundlagen über Martingale und Brownsche Bewegung.