Law of averages

(Subscript[S, n])=(∑_(i=1)^n)(Subscript[I, (Subscript[A, i])]),  (Subscript[A, i])unabhängig mit P[(Subscript[A, i])]=p     
⟹      P[|((Subscript[S, n])/n)-p|≥ϵ]⟶0   für n→∞

Zur Demonstration simulieren wir den Verlauf von (Subscript[S, n]) und ((Subscript[S, n])/n) mehrfach (m mal):

Verlauf von (Subscript[S, n])

m=30;nmax=1000;p=0.7;
(* Wir erzeugen m\[Cross]nmax Bernoulli-Stichproben mit W'keit p *)  
x=RandomChoice[{1-p,p}->{0,1},{nmax,m}]; s=Accumulate[x];
(* Das Feld s enthält m Verläufe von (Subscript[s, n])=(Subscript[x, 1])+...+(Subscript[x, n]), n=1,...,nmax *) 
Manipulate[Show[
ListLinePlot[Transpose[s[[1;;n]]]],
ListLinePlot[p*Range[n],PlotStyle->{Black,Thick}]]
,{{n,50},1,nmax,1}]
(* Vergleich der m Verläufe von (Subscript[s, n]) mit np *)

Verlauf von (Subscript[S, n])/n

mean=s/Range[nmax];
(* Das Feld mean enthält m Verläufe der Werte von (Subscript[s, n])/n *)
Manipulate[Show[
ListLinePlot[Transpose[mean[[1;;n]]]],
ListLinePlot[ConstantArray[p,n],PlotStyle->{Black,Thick}] ],{{n,50},1,nmax,1}]

Verteilung von (Subscript[S, n])

Manipulate[ListPlot[Table[{k,PDF[BinomialDistribution[n,p],k]},{k,0,n}],PlotRange->All,Filling->Axis]
,{{n,50},1,nmax,1}]

Random Walk

zufall=RandomChoice[{-1,1},10000];
randomwalk=FoldList[Plus,0,zufall];
Manipulate[ListLinePlot[randomwalk[[1;;nmax]]],{nmax,10,10000,10}]