Andreas Eberle - Vorlesungen

Stochastische Analysis II Sommersem. 2005

Andreas Eberle Di 12-14, Do 12-14, SR 501/We. 6

Schwerpunkt der Vorlesung sind fortgeschrittene Verfahren zur Analyse von Markov-und, insbesondere, Diffusionsprozessen. Im einzelnen soll ein Teil der folgenden Themen behandelt werden :

Grundlegende Modelle : Diffusions-und Sprungprozesse im R^n, interagierende Systeme, stochastische partielle Differentialgleichungen, zufällige Medien.

Stochastische Differentialgleichungen und Diffusionen im R^n : Existenz, Eindeutigkeit und Approximation von starken Lösungen, Lösungsfluß, Markov-Eigenschaft, Halbgruppen und Generatoren, Vorwärts- und Rückwärtsgleichung, Zeitumkehr und Reversibilität, Dirichletformen, Transformationen von Diffusionsprozessen, Explosion, stochastische Lyapunovfunktionen und Stabilität.

Konvergenz ins Gleichgewicht : Invariante Verteilungen und Ergodizität, Funktionalungleichungen (Poincaré, Nash, Log-Sobolev) und Konvergenzgeschwindigkeit von Markovprozessen.

Große Abweichungen : Laplacemethode und Varadhans Lemma, Satz von Sanov für Markovketten, Satz von Cameron-Martin, große Abweichungen auf dem Wienerraum, zufällige Störungen dynamischer Systeme (Freidlin-Wentzell-Theorie).

Malliavinkalkül : Darstellungssatz von Itô, Malliavingradient, Bismuts partielle Integrationsformel, Clark-Ocone-Formel, erste Variation von Lösungen stochastischer Differentialgleichungen, Anwendungen auf Abhängigkeit von Anfangswerten, bedingte Verteilungen, und Regularität von Diffusionen.

Skalierungslimiten interagierender Teilchensysteme.

Literatur:

 Rogers/Williams, Diffusions, Markov processes and martingales, Vol. II

Revuz/Yor, Continuous martingales and Brownian motion

Ikeda/Watanabe, Stochastic differential equations and diffusion processes

Saloff-Coste, Markov chains, in: Ecole d'été de St. Flour 1996, LNM 1665

Brémaud, Markov chains

Dembo/Zeitouni, Large deviations techniques and applications

den Hollander, Large deviations

Bell, The Malliavin calculus

Nualart, Malliavin calculus and related topics

Kipnis/Landim, Scaling limits of interacting particle systems

Voraussetzungen: Itôkalkül

Dienstags und donnerstags, 12 ct, SR 501/We. 6 

Uebungsblatt 1 
Uebungsblatt 2 
Uebungsblatt 3 
Uebungsblatt 4 
Uebungsblatt 5 
Uebungsblatt 6 
Uebungsblatt 7 

Homepage des Mathematischen Instituts Bonn