Probability and Stochastic Analysis - University of Bonn
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Hauptseminar  S2F2                         WS 2009/10

 

Numerische stochastische Analysis

 

Andreas Eberle       

 

Termin:                 Donnerstags 14-16

 

Anmeldung:          E-Mail an eberle@uni-bonn.de

 

Vorkenntnisse:     Die Vorlesung „Grundzüge der stoch. Analysis“ sollte parallel gehört werden, oder der Inhalt bereits bekannt sein.

 

Inhalt:   Das Seminar behandelt Simulationsverfahren für stochastische Prozesse, und numerische Verfahren für stochastische Differentialgleichungen. Stochastische Differentialgleichungen sind gewöhnliche Differentialgleichungen mit einem zusätzlichen Rauschterm, der meist von den Inkrementen einer Brownschen Bewegung abhängt. Sie spielen in der Modellierung in vielen Bereichen eine wichtige Rolle - z.B. in der modernen Finanzmathematik. Numerische Verfahren für solche Gleichungen sind noch viel weniger gut verstanden als entsprechende Verfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen. Die Irregularität des Rauschterms verhindert eine naive Übertragung klassischer Methoden. Die Berücksichtigung zusätzlicher Korrekturterme (entsprechend den Korrekturtermen im Itô-Kalkül) ist erforderlich. Im Seminar soll eine Einführung in grundlegende Verfahren gegeben werden.

  Grundlagen zu Monte-Carlo und Quasi-Monte-Carlo-Verfahren

   Brownsche Bewegung, Erzeugen von zufälligen Pfaden

Simulation von Gauß- und Lévy-Prozessen 

Stochastische Taylorentwicklung

Stochastisches Euler- und Milstein-Verfahren, starke und schwache Konvergenzordnung

Stabilität

Varianzreduktion, Importance Sampling

Malliavinkalkül, Berechnung von Sensitivitäte

Kubatur auf dem Wienerraum

Anwendungen: Optionspreisbewertung, stochastische Filter

 

 

Literatur:

-          Asmussen: Stochastic simulation, Springer

-          Kloeden/Platen: Numerical solution of SDE, Springer

-          Glasserman: Monte Carlo methods in financial engineering, Springer

-          Fournié/Lasry/Lébuchoux/P.L.Lions/Touzi: Applications of Malliavin Calculus to Monte Carlo methods in finance I and II, Finance and Stochastics 3 und 5  

-          Lyons/Victoir: Cubature on Wiener Space, Proceedings: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, Vol. 460, No. 2041, Royal Soc.