Hauptseminar S2F2 WS 2009/10
Numerische stochastische Analysis
Andreas Eberle
Termin: Donnerstags 14-16
Anmeldung: E-Mail an eberle@uni-bonn.de
Vorkenntnisse: Die Vorlesung „Grundzüge der stoch. Analysis“ sollte parallel gehört werden, oder der Inhalt bereits bekannt sein.
Inhalt: Das Seminar behandelt Simulationsverfahren für stochastische Prozesse, und numerische Verfahren für stochastische Differentialgleichungen. Stochastische Differentialgleichungen sind gewöhnliche Differentialgleichungen mit einem zusätzlichen Rauschterm, der meist von den Inkrementen einer Brownschen Bewegung abhängt. Sie spielen in der Modellierung in vielen Bereichen eine wichtige Rolle - z.B. in der modernen Finanzmathematik. Numerische Verfahren für solche Gleichungen sind noch viel weniger gut verstanden als entsprechende Verfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen. Die Irregularität des Rauschterms verhindert eine naive Übertragung klassischer Methoden. Die Berücksichtigung zusätzlicher Korrekturterme (entsprechend den Korrekturtermen im Itô-Kalkül) ist erforderlich. Im Seminar soll eine Einführung in grundlegende Verfahren gegeben werden.
Grundlagen zu Monte-Carlo und Quasi-Monte-Carlo-Verfahren
Brownsche Bewegung, Erzeugen von zufälligen Pfaden
Simulation von Gauß- und Lévy-Prozessen
Stochastische Taylorentwicklung
Stochastisches Euler- und Milstein-Verfahren, starke und schwache Konvergenzordnung
Stabilität
Varianzreduktion, Importance Sampling
Malliavinkalkül, Berechnung von Sensitivitäte
Kubatur auf dem Wienerraum
Anwendungen: Optionspreisbewertung, stochastische Filter
Literatur:
- Asmussen: Stochastic simulation, Springer
- Kloeden/Platen: Numerical solution of SDE, Springer
- Glasserman: Monte Carlo methods in financial engineering, Springer
- Fournié/Lasry/Lébuchoux/P.L.Lions/Touzi: Applications of Malliavin Calculus to Monte Carlo methods in finance I and II, Finance and Stochastics 3 und 5
- Lyons/Victoir: Cubature on Wiener Space, Proceedings: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, Vol. 460, No. 2041, Royal Soc.