Stochastische Prozesse SoSem 2007

Andreas Eberle Mo, Mi 10-12, Gr. HS

Themen:

<dir>

Bedingte Erwartungen.

Markovsche Ketten: Rekurrenz und Transienz, invariante Maße, Konvergenz ins Gleichgewicht (Ergodensatz), Reversibilität, Konvergenzgeschwindigkeit, Markov chain Monte Carlo Methoden, Gibbsmaße, Isingmodell.

Martingale: Stoppsatz, diskrete stochastische Integrale, Konvergenzsätze, Anwendung auf Markovsche Ketten, Doob-Zerlegung, Satz von Radon-Nikodym, Satz vom itererierten Logarithmus.

Brownsche Bewegung: Konstruktionen, Feinstruktur der Pfade (Nicht-Differenzierbarkeit, quadratische Variation, Hölderstetigkeit), Brownsche Bewegung als Markovprozeß, Brownsche Martingale, Dirichletproblem, funktionaler zentraler Grenzwertsatz.

</dir>

Beschreibung:

Markovsche Ketten und Martingale sind die zwei wichtigsten Klassen stochastischer Prozesse in diskreter Zeit. Markovsche Ketten spielen in zahlreichen Anwendungsbereichen eine wichtige Rolle. Ihre einfache Struktur ermöglicht eine weitgehende Analyse des Langzeitverhaltens. Martingale sind faire Spiele, d.h. es geht ,,im Mittel weder auf noch ab��. Für solche Prozesse gibt es sehr präzise Abschätzungen und weitgehende Konvergenzsätze. Allgemeinere Prozesse können durch Transformationen aus Martingalen konstruiert werden.

Die Brownsche Bewegung ist das wichtigste Beispiel eines stochastischen Prozesses in kontinuierlicher Zeit. Sie ist sowohl ein Markovprozeß als auch ein Martingal. Es besteht eine enge Verbindung zur Potential- und Wärmeleitungsgleichung. Allgemeine Diffusionsprozesse können aus der Brownschen Bewegung mithilfe von stochastischen Differentialgleichungen konstruiert werden - dies ist Thema der weiterführenden Vorlesung Stochastische Analysis im Wintersemester.

Literatur:

<dir>

Durrett, Probability: Theory and Examples, Ch. 4,5,7

Williams, Probability with martingales

Norris, Markov chains

Grimmett/Stirzacker, Probability and random processes

</dir>