Probability and Stochastic Analysis - University of Bonn
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Seminar S1G1, SS 2016

Dozenten: Anton Bovier und Rebecca Neukirch

Zeit und Ort:  Dienstags, 14-16 Uhr, SR 0.003 , Mathematikzentrum

 

Gewöhnliche Differentialgleichungen und ihre Anwendungen

 
Vortragsliste

Thema: Sucht man eine Funktion u: n und kennt eine Relation zwischen u und den Ableitungen von u nach genau einer Variablen, so heißt diese Relation gewöhnliche Differentialgleichung.

Viele physikalische, chemische und biologische Vorgänge in der Natur lassen sich mit Hilfe von gewöhnlichen Differentialgleichungen modellieren. Doch leider lassen sich viele Differentialgleichungen nicht analytisch in geschlossener Form lösen. Trotzdem kann man einige Aussagen über das qualitative Verhalten wie die Stabilität von Lösungen oder dem Langzeitverhalten treffen. Das quantitative Verhalten von Lösungen dagegen kann man heutzutage schon sehr gut mit numerischen Approximationsverfahren berechnen.

Dieses Seminar soll eine Einführung in die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen geben. Ein Schwerpunkt liegt dabei auf Beispielen und Anwendungen in der realen Welt.

Grundlage bildet das Buch "Differential Equations and Their Applications", von Martin Braun, welches jedem Seminarteilnehmer zur Verfügung gestellt wird.

angedachte Vortragsthemen:

(A) gewöhnliche Differentialgleichungen 1-ter Ordnung:

  • Beispiele (Populationsmodell, Atommüllproblem, Tumorwachstum, Mixing-Probleme und orthogonale Trajektorien)
  • exakte Differentialgleichungen - warum wir nicht viele lösen können
  • Nullstelleniteration und Newtonverfahren
  • numerische Approximationen (Euler-, Mehrschritt-, Heun- und Runge-Kutta-Verfahren)

(B) lineare Differentialgleichungen 2-ter Ordnung:

  • algebraische Eigenschaften der Lösungen
  • lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
  • inhomogene Differentialgleichungen und Variation der Parameter
  • Methode des sinnvollen Ratens und der Laplacetransformierten
  • mechanische Vibrationen

(C) qualitative Theorie von Differentialgleichungen:

  • Stabilität
  • Phasenraum und Orbits
  • Phasenportraits
  • Räuber-Beute Modell und das Prinzip der kompetitiven Exklusion
  • mathematische Kriegstheorien