Approximationen der Binomialverteilung

Die Binomialverteilung mit Parametern n und p beschreibt, wieviele von n unabhängigen Ereignissen mit Wahrscheinlichkeit p eintreten. Für n→∞ nähert sich die Binomialverteilung je nach Skalierung der Wahrscheinlichkeit p(n) verschiedenen Grenzverteilungen an. Diese Grenzverteilungen können verwendet werden, um Wahrscheinlichkeiten für binomialverteilte Zufallsvariablen für große n näherungsweise zu berechnen.

Seltene Ereignisse: Die Poissonapproximation

Konvergiert n→∞, und konvergiert gleichzeitig der Erwartungswert n·p(n) gegen eine positive reelle Zahl λ, dann nähern sich die Gewichte der Binomialverteilung denen einer Poissonverteilung mit Parameter λ an:

({{({{(({{n}, {k}}))p(((n))^k)(((1-p(n)))^(n-k))⟶}})((λ^k)/(k!))(e^(-λ))        ( k=0,1,2,... ).}})

Da in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit p(n) gegen Null konvergiert, beschreibt die Poissonapproximation die Häufigkeiten seltener Ereignisse.

Die folgende Graphik zeigt die Massenfunktion einer Bin(n,p)-Verteilung, wobei der Wert von n sowie der Erwartungswert λ=np vorgegeben werden können. Für n→∞ bei festem Erwartungswert λ nähert sich die Verteilung einem Grenzwert an - der Poissonverteilung mit Parameter λ.

Manipulate[
ListPlot[Table[{k,PDF[BinomialDistribution[n,Min[1,lambda /n]],k]},{k,0,IntegerPart[4 lambda]}],Filling->Axis,PlotRange->All,PlotMarkers->{Automatic,Medium},Axes->{True,False}]
,{{n,10,"n"},3,300,1},{{lambda,5,"Erwartungswert: np=λ"},2,20}]

Häufige Ereignisse: Die Normalapproximation

Geht die Wahrscheinlichkeit p für n→∞ nicht gegen 0, sondern hat zum Beispiel einen festen Wert p∈(0,1), dann kann die Poissonapproximation nicht verwendet werden. Stattdessen kann man in diesem Fall den Grenzwertsatz von de Moivre/Laplace anwenden. Er besagt, daß die Fluktuationen einer Bin(n,p)-verteilten Zufallsvariable um den Erwartungswert n·p von der Ordnung (Sqrt[n]) sind, und die Verteilung der Fluktuationen sich für n→∞ einer Normalverteilung annähert:

Satz (de Moivre, Laplace)

({{(Underscript[({{lim}}), n→∞]) (Subscript[P, n,p])[{0≤k≤n :  a≤((k-np)/(Sqrt[n]))≤b }]  =  (1/(Sqrt[2ℼp(1-p)]))(∫_a^b)exp(-((x^2)/(2p(1-p))))dx}})